已知點A(a,y1)、B(2a,y2)、C(3a,y3)都在拋物線y=5x2+12x上.
(1)求拋物線與x軸的交點坐標;
(2)當a=1時,求△ABC的面積;
(3)是否存在含有y1,y2,y3,且與a無關的等式?如果存在,試給出一個,并加以證明;如果不存在,說明理由.
【答案】
分析:(1)令y=0,得出的關于x的二元一次方程的解就是拋物線與x軸的交點的橫坐標,也就求得出了拋物線與x軸的交點坐標.
(2)當a=1時,根據拋物線的解析式求出A、B、C三點的坐標,由于三角形的面積無法直接求出,因此通過作輔助線用其他規(guī)則圖形的面積的“和,差”關系來求.如:分別過點A、B、C作x軸的垂線,垂足分別為D、E、F,S
△ABC=S
梯形ADFC-S
梯形ADEB-S
梯形BEFC由此可求出△ABC的面積.
(3)可將A、B、C三點的坐標代入拋物線中,得出y
1,y
2,y
3的值,然后進行比較即可得出它們之間的和差或倍數關系.
解答:解:(1)由5x
2+12x=0,
得x
1=0,
.
∴拋物線與x軸的交點坐標為(0,0)、(
,0).
(2)當a=1時,得A(1,17)、B(2,44)、C(3,81),
分別過點A、B、C作x軸的垂線,垂足分別為D、E、F,
則有S
△ABC=S
梯形ADFC-S
梯形ADEB-S
梯形BEFC=
-
-
=5(個單位面積)
(3)如:y
3=3(y
2-y
1).
事實上,y
3=5×(3a)
2+12×(3a)=45a
2+36a.
3(y
2-y
1)=3[5×(2a)
2+12×2a-(5a
2+12a)]=45a
2+36a.
∴y
3=3(y
2-y
1).
點評:本題主要考查了二次函數的應用,根據拋物線的解析式來確定A、B、C三點的坐標是解題的關鍵.