27、小明學(xué)習(xí)了垂徑定理,做了下面的探究,請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究.
(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在⊙0中,C是劣弧AB的中點(diǎn),直線CD⊥AB于點(diǎn)E,則AE=BE.請(qǐng)證明此結(jié)論;
(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線,成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,PB組成⊙0的一條折弦.C是劣弧AB的中點(diǎn),直線CD⊥PA于點(diǎn)E,則AE=PE+PB.可以通過延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F,再連接AD證明結(jié)論成立.請(qǐng)寫出證明過程;
(3)如圖3,PA.PB組成⊙0的一條折弦,若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn),直線CD⊥PA于點(diǎn)E,則AE,PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論,不必證明.
分析:(1)連接AD,BD,易證△ADB為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì),可以證得AE=BE.
(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),先∠CDA=∠CDF,再證△AFD為等腰三角形,進(jìn)一步證得PB=PF,從而證得結(jié)論.
(3)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),證得∠BAC=∠ABC,因?yàn)椤鰽CB為等腰三角形,所以PB=PF,進(jìn)而求得AE=PE-PB.
解答:證明:(1)連接AD,BD,
∵C是劣弧AB的中點(diǎn),
∴∠CDA=∠CDB,
∴△ADB為等腰三角形,
∵CD⊥AB,
∴AE=BE;

(2)延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F,再連接AD,
∵ADBP是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠PBF=∠PAD,
∵C是劣弧AB的中點(diǎn),
∴∠CDA=∠CDF,
∵CD⊥PA,
∴△AFD為等腰三角形,
∴∠F=∠A,AE=EF,
∴∠PBF=∠F,
∴PB=PF,
∴AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.
連接AD,BD,AB,BD,DB、AP相交于點(diǎn)F,
∵弧AC=弧BC,
∴∠ADC=∠BDC,
∵CD⊥AP,
∴∠DEA=∠DEF,∠ADE=∠FED,
∵DE=DE,
∴△DAE≌△DFE,
∴AD=DF,AE=EF,
∴∠DAF=∠DFA,
∴∠DFA=∠PFB,∠PBD=∠DAP,
∴∠PFB=∠PBF,
∴PF=PB,
∴AE=PE-PB;
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了垂徑定理及其推論,垂徑定理-在5個(gè)條件中,1.平分弦所對(duì)的一條。2.平分弦所對(duì)的另一條。3.平分弦;4.垂直于弦;5.經(jīng)過圓心(或者說直徑).只要具備任意兩個(gè)條件,就可以推出其他的三個(gè).
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(3)如圖3,PA.PB組成⊙0的一條折弦,若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn),直線CD⊥PA于點(diǎn)E,則AE,PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論,不必證明.

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(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線,成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,PB組成⊙0的一條折弦.C是劣弧AB的中點(diǎn),直線CD⊥PA于點(diǎn)E,則AE=PE+PB.可以通過延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F,再連接AD證明結(jié)論成立.請(qǐng)寫出證明過程;
(3)如圖3,PA.PB組成⊙0的一條折弦,若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn),直線CD⊥PA于點(diǎn)E,則AE,PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論,不必證明.

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