Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線．
求證：（1）△ABC∽△BCD；
（2）BC²=AC•CD．

Answer 1

證明：（1）解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵∠C=72°，∠CBD=36°，
∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠BDC=72°=∠C，
∴BD=BC=AD，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC；

（2）由（1）知，△ABC∽△BDC．則=，即BC²=AC•CD．
分析：（1）根據(jù)已知條件得到AD=BD=BC，則易證△ABC∽△BDC；
（2）通過（1）中的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，角平分線定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，黃金分割等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．