【題目】如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,BD=4,E、F分別是AD、CD上的動點(包含端點),且AE+CF=4,連接BE、EF、FB.

(1)試探究BEBF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)求EF的最大值與最小值.

【答案】(1)見解析(2)EF的最大值為4,最小值為

【解析】試題分析:(1)AE+CF=4,DF+CF=4,則DF=AE,根據(jù)題目已知條件可通過角邊角證明,從而證明BE=BF(2)可先證明BEF為等邊三角形。那么BE=BF=EF,EAD上運動,當BE AD時,BE最短,當EAD重合時最長。

解:(1)BE=BF,證明如下:

∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形,BD=4,

∴△ABD、CBD都是邊長為4的正三角形,

AE+CF=4,

CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE,

又∵BD=BC=4,BDE=C=60°,

在△BDE和△BCF中,

DE=DF,∠BDE=C,BD=BC,

∴△BDE≌△BCF(SAS),

BE=BF;

(2)∵△BDE≌△BCF,

∴∠EBD=FBC,

∴∠EBD+∠DBF=FBC+∠DBF,

∴∠EBF=DBC=60°,

又∵BE=BF,

∴△BEF是正三角形,

EF=BE=BF,

當動點E運動到點D或點A時,BE的最大值為4,

BEAD,即EAD的中點時,BE的最小值為,

EF=BE,

EF的最大值為4,最小值為

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