Question

在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，我們稱關(guān)于x的一元二次方程ax²-bx-c=0為“△ABC的☆方程”．根據(jù)規(guī)定解答下列問題：
（1）“△ABC的☆方程”ax²-bx-c=0的根的情況是

 

（填序號）；
①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；   ②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；  ③沒有實(shí)數(shù)根．
（2）如圖，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)D為⊙O上的一點(diǎn)，∠ADC的平分線交⊙O于點(diǎn)B，求“△ABC的☆方程”ax²-bx-c=0的解；
（3）若x=-

1

4

c是“△ABC的☆方程”ax²-bx-c=0的一個(gè)根，其中a，b，c均為正整數(shù)，且ac-4b＜0，求①求b的值；②求“△ABC的☆方程”的另一個(gè)根．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先計(jì)算判別式的值得△=b²+4ac，由于a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，則△＞0，則可根據(jù)判別式的意義判斷根的情況；
（2）根據(jù)圓周角定理由AC為⊙O的直徑得到∠ADC=∠ABC=90°，再由DB為∠ADC的平分線得∠ADB=∠CDB=45°，根據(jù)圓周角定理得∠BAC=∠ACB=45°，于是可判斷△ABC為等腰直角三角形，則a=c，b=

2

a，方程ax²-bx-c=0化為ax²-

2

ax-a=0，即x²-

2

x-1=0，然后用求根公式法解方程；
（3）①根據(jù)方程解得定義得a•（-

1

4

c）²-b•（-

1

4

c）-c=0，整理后得到ac=16-4b，加上ac＜4b，則16-4b＜4b，解得b＞2，由于a，b，c均為正整數(shù)，ac=16-4b＞0，解得b＜4，則2＜b＜4，于是得到b=3；
②利用ac=16-4b=4，b＞a，b＞c，易得a=2，c=2，則“△ABC的☆方程”為2x²-3x-2=0，然后解方程即可得到方程的另一個(gè)根．

解答：解：（1）△=b²-4a•（-c）=b²+4ac，
∵a、b、c都是正數(shù)，
∴△＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
故答案為②；
（2）∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵DB為∠ADC的平分線，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴a=c，b=

2

a，
∴ax²-bx-c=0化為ax²-

2

ax-a=0，
即x²-

2

x-1=0，
解得x₁=

2 + 6

2

，x₂=

2 - 6

2

；
（3）①∵x=-

1

4

c是“△ABC的☆方程”ax²-bx-c=0的一個(gè)根，
∴a•（-

1

4

c）²-b•（-

1

4

c）-c=0，
∴ac=16-4b，
∵ac-4b＜0，即ac＜4b，
∴16-4b＜4b，解得b＞2，
∵a，b，c均為正整數(shù)，
∴ac=16-4b＞0，解得b＜4，
∴2＜b＜4，
∴b=3，
②∵ac=16-4b=4，
b＞a，b＞c，
∴a=2，c=2，
∴“△ABC的☆方程”為2x²-3x-2=0，解得x₁=-

1

2

，x₂=2，
即方程的另一個(gè)根為x=2．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、根的判別式的意義；會解一元二次方程；會運(yùn)用整數(shù)的性質(zhì)求整數(shù)值的問題．