Question

（2012•海門市模擬）如圖，四邊形OABE中，∠AOE=∠BEO=90°，OA=3，OE═4，BE=1，點(diǎn)C，D是邊OE（與端點(diǎn)O、E不重合）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且CD=1．
（1）求邊AB的長；
（2）當(dāng)△AOD與△BCE相似時(shí)，求OD的長；
（3）連接AC與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)OD=x，△PDC的面積記為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作BF⊥AO，構(gòu)造矩形OEBF和直角三角形AFB，利用勾股定理求出AB的長；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)

AO

BE

=

OD

CE

時(shí)，△AOD∽△BEC；②當(dāng)

AO

CE

=

OD

BE

時(shí)，△AOD∽△CEB；然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；
（3）作PH⊥OE于H．可得△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出函數(shù)解析式．

解答：解：（1）作BF⊥AO，則四邊形OEBF為矩形，
∵BF=OE=4，AF=AO-BE=3-1=2；
∴在Rt△AFB中，AB=

AF2+BF2

=

22+42

=2

5

．

（2）設(shè)OD=a，則CE=4-a-1=3-a，
∵∠AOD=∠BEC=90°，
①當(dāng)

AO

BE

=

OD

CE

時(shí)，△AOD∽△BEC，
∴

3

1

=

a

3-a

，
∴a=

9

4

；
②當(dāng)

AO

CE

=

OD

BE

時(shí)，△AOD∽△CEB，
∴

3

3-a

=

a

1

，
∴a²-3a+3=0，此方程無實(shí)數(shù)根，
綜上所述，OD=

9

4

．

（3）作PH⊥OE于H．
可得，△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，
∴

PH

AO

=

CH

CO

，

PH

3

=

CH

x+1

，CH=

1

3

PH（x+1），
∵

PH

BE

=

DH

DE

，
∴

PH

1

=

DH

4-x

，
∴DH=PH（4-x），
∴CD=CH+DH=

1

3

PH（x+1）+PH（4-x）=1，
∴PH=

3

13-2x

．
∴y=

1

2

CD•PH=

1

2

×1×

3

13-2x

=

3

26-4x

（0＜x＜3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，涉及勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．