如圖，拋物線y1=a(x+2)2-3與y2=
1
2
(x-3)2+1交于點A（1，3）過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B、C，則以下結(jié)論：
①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；②a=
2
3
；③當x=0時，y2-y1=4；④2AB=3AC；
其中，結(jié)論正確的是
①②④
①②④
（填寫序號即可）
分析：根據(jù)與y2=
1
2
（x-3）2+1的圖象在x軸上方即可得出y2的取值范圍；把A（1，3）代入拋物線y1=a（x+2）2-3即可得出a的值；由拋物線與y軸的交點求出，y2-y1的值；根據(jù)兩函數(shù)的解析式求出A、B、C的坐標，計算出AB與AC的長，即可得到AB與AC的關(guān)系．
解答：解：①∵拋物線y2=
1
2
（x-3）2+1開口向上，頂點坐標在x軸的上方，
∴無論x取何值，y2的值總是正數(shù)，故本選項正確；

②把A（1，3）代入，拋物線y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，
解得a=
2
3
，故本選項正確；

③由兩函數(shù)圖象可知，拋物線y1=a（x+2）2-3
解析式為y1=
2
3
（x+2）2-3，
當x=0時，y1=
2
3
（0+2）2-3=-
1
3
，y2=
1
2
（0-3）2+1=
11
2
，
故y2-y1=-
1
3
-
11
2
=-
35
6
，故本選項錯誤；

④∵物線y1=a（x+2）2-3與y2=
1
2
（x-3）2+1交于點A（1，3），
∴y1的對稱軸為x=-2，y2的對稱軸為x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本選項題正確．
故答案為①②④．
點評：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合進行解答是解答此題的關(guān)鍵，同時要熟悉二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
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相關(guān)習題

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如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點P（-
1
2
，
9
8
），且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A，B兩點．
（1）求a值；
（2）設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M，N兩點（點M在點N的左邊），y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點（點E在點F的左邊），觀察M，N，E，F(xiàn)四點的坐標，寫出一條正確的結(jié)論，并通過計算說明；
（3）設(shè)A，B兩點的橫坐標分別記為xA，xB，若在x軸上有一動點Q（x，0），且xA≤x≤xB，過Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D精英家教網(wǎng)兩點，試問當x為何值時，線段CD有最大值，其最大值為多少？

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如圖，拋物線y1=a(x-m)2與y2關(guān)于y軸對稱，頂點分別為B、A，y1與y軸的交點為C．若由A，B，C組成的三角形中，tan∠ABC=2．求：
（1）a與m滿足的關(guān)系式；
（2）如圖，動點Q、M分別在y1和y2上，N、P在x軸上，構(gòu)成矩形MNPQ，當a為1時，請問：
①Q(mào)點坐標是多少時，矩形MNPQ的周長最短？
②若E為MQ與y軸的交點，是否存在這樣的矩形，使得△CEQ與△QPB相似？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

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（2013•宜賓）如圖，拋物線y1=x2-1交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y2，兩條拋物線相交于點C．
（1）請直接寫出拋物線y2的解析式；
（2）若點P是x軸上一動點，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點坐標；
（3）在第四象限內(nèi)拋物線y2上，是否存在點Q，使得△QOC中OC邊上的高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由．

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x＞1或x＜-2
x＞1或x＜-2
．

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