Question

如圖1，在正方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)P（不與端點(diǎn)A，B重合），以AP為一邊作正方形APEF，連接BE，DE，觀察圖形，有如下三個(gè)結(jié)論成立：①BE=DE；②BP=DF；③BP⊥DF．如圖2，將正方形APEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．
（1）旋轉(zhuǎn)后，上述三個(gè)結(jié)論仍然成立的有哪些？寫出仍然成立的結(jié)論，并證明；
（2）若正方形APEF的邊長(zhǎng)為2

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，旋轉(zhuǎn)時(shí)，正方形APEF的邊與AD交于點(diǎn)G，若AG=4，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由圖觀察，旋轉(zhuǎn)后依然成立的結(jié)論應(yīng)該是②和③，連接BP，DF，BP的延長(zhǎng)線分別交AD，DF于點(diǎn)M，N．要證明BP⊥DF，就要證明∠FDA+∠DMN=90°，∠DMN=∠AMB．
而∠AMB+∠ABM=90°，因此要證BP⊥DF，就要證明∠FDA=∠ABM．
我們發(fā)現(xiàn)要證明的∠FDA=∠ABM和BP=DF都在三角形ADF和ABP中，那么只要證明△ADF和△ABP全等即可．
因?yàn)椤螪AF和∠PAB都與∠DAP互余，因此∠DAF=∠PAB，又有AP=AF，AB=AD．因此兩三角形就全等了．
（2）分兩種情況：①G在EF邊上；②G在EP邊上解答．

解答：解：（1）旋轉(zhuǎn)后，仍然成立的結(jié)論是：②BP=DF，③BP⊥DF．
證明：連接BP，DF，
∵∠PAB=α=90°-∠DAP=∠FAD，
AP=AF，AB=AD，
∴△ABP≌△ADF，
∴BP=DF，
延長(zhǎng)BP，分別交AD，DF于點(diǎn)M，N，
由△ABP≌△ADF得∠MBA=∠MDN，
又∠BMA=∠DMN，
∴∠DNM=∠BAD=90°，即BP⊥DF．


（2）分兩種情況：①當(dāng)G在EF邊上時(shí)，如備用圖．
在直角三角形FGA中，cos∠FAG=AF：AG=

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：2，因此∠FAG=30°．
因此，∠GAP=60°，∠PAB=∠α=30°．
②當(dāng)G在EP邊上時(shí)，如圖2．
求法同①只不過是在直角三角形GAP中進(jìn)行求值，求出的結(jié)果是∠PAB=∠α=60°．
故旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為30°或60°．

點(diǎn)評(píng)：平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對(duì)應(yīng)的邊、角均相等．巧妙地運(yùn)用變換的基本性質(zhì)或構(gòu)造變換圖形，均可以使題目的解答簡(jiǎn)易而順暢．