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如圖所示,矩形ABCD,過重心O任意作一直線分別交邊于E、F,證明直線EF把矩形分成面積相等的兩部分.直線EF把矩形的周長也分成相等的兩部分嗎?為什么?

證明:∵過重心O任意作一直線分別交邊于E、F,
∴AC、BC交于O則O為矩形對稱中心.
∴四邊形ABFE與四邊形EFCD關于點O對稱,
∴作直線EF使其經過點O,直線EF即把矩形分成面積相等的兩部分.

證明:∵四邊形ABCD是矩形,O為重心.
∴AO=CO=BO=DO,∠AOE=∠COF,∠DAO=∠ACB=∠DBC.
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴AE=CF.
∴DE=BF.
∴AE+AB+BF=CF+CD+DE.
∴直線EF把矩形的周長也分成相等的兩部分.
分析:利用四邊形ABCD為矩形的性質證△AOE≌△COF.進而得到AE=CF,那么DE=BF.就可得到矩形的周長也分成相等的兩部分.
點評:解答此題要熟悉矩形的性質以及重心的知識,結合全等三角形的判定定理解答.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖①,在平面直角坐標系中,已知△ABC是等邊三角形,點B的坐標為(12,0),動點P在線段AB上從點A向點B以每秒
3
個單位的速度運動,設運動時間為t秒.以點P為頂點,作等邊△PMN,點M,N在x軸上.
(1)當t為何值時,點M與點O重合;
(2)求點P坐標和等邊△PMN的邊長(用t的代數式表示);
(3)如果取OB的中點D,以OD為邊在△AOB內部作如圖②所示的矩形ODEF,點E在線段AB上.設等邊△PMN和矩形ODEF重疊部分的面積為S,請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式,并求出S的最大值.
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科目:初中數學 來源: 題型:

18、如圖所示,在△ABC中,分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD,等邊△ACE、等邊△BCF.
(1)求證:四邊形DAEF是平行四邊形;
(2)探究下列問題:(只填滿足的條件,不需證明)
①當△ABC滿足
∠BAC=150°
條件時,四邊形DAEF是矩形;
②當△ABC滿足
AB=AC≠BC
條件時,四邊形DAEF是菱形;
③當△ABC滿足
∠BAC=60°
條件時,以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在.

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科目:初中數學 來源: 題型:

17、如圖①在矩形ABCD中,動點P從點B出發(fā),沿著BC、CD、DA運動到點A停止,設點P運動的路程為x,△ABP的面積為y,如果y與x的函數圖象如圖②所示,則△ABC的周長為
12

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知△ABC是等邊三角形,點O為是AC的中點,OB=12,動點P在線段AB上從點A向點B以每秒
3
個單位的速度運動,設運動時間為t秒.以點P為頂點,作等邊△PMN,點M,N在直線OB上,取OB的中點D,以OD為邊在△AOB內部作如圖所示的矩形ODEF,點E在線段AB上.
(1)求當等邊△PMN的頂點M運動到與點O重合時t的值;
(2)求等邊△PMN的邊長(用t的代數式表示);
(3)設等邊△PMN和矩形ODE F重疊部分的面積為S,請求你直接寫出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式,并寫出對應的自變量t的取值范圍;
(4)點P在運動過程中,是否存在點M,使得△EFM是等腰三角形?若存在,求出對應的t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•邵陽)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,邊BC、CA、AB的中點分別是D、E、F,則四邊形AFDE是( 。

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