Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠CAB=120°，⊙O的半徑等于5，求線段BC的長．

Answer 1

分析：（1）先連接OD、AD，由于AB是直徑以及AB=AC，易證BD=CD，而OA=OB，從而可知OD是△ABC的中位線，那么OD∥AC，再結(jié)合DE⊥AC，易證∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切線；
（2）由⊙O半徑是5，可知AB=10，而△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，利用等腰三角形三線合一定理可知∠CAD=∠BAD=60°，在Rt△ADB中，易求BD，進而可求BC．

解答：解：如右圖所示，連接OD、AD．
∵AB是直徑，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵⊙O半徑是5，
∴AB=10，
∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
在Rt△ADB中，BD=sin60°•AB=5

3

，
∴BC=10

3

．

點評：本題考查了等腰三角形三線合一定理、三角形中位線定理、切線的判定和性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值、平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是，連接OD、AD，并證明OD是△ABC的中位線．