Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A（2，0）、C（0，2）．將矩形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°．得矩形OEFG，線(xiàn)段GE、FO相交于點(diǎn)H，平行于y軸的直線(xiàn)MN分別交線(xiàn)段GF、GH、GO和x軸于點(diǎn)M、P、N、D，連結(jié)MH．

（1）若拋物線(xiàn)l經(jīng)過(guò)G、O、E三點(diǎn)，求l的解析式；

（2）如果四邊形OHMN為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（1）（2）的條件下，直線(xiàn)MN與拋物線(xiàn)l交于點(diǎn)R，動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)l上且在R、E兩點(diǎn)之間（不含點(diǎn)R、E）運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PQH的面積為s，當(dāng)＜s≤時(shí)，確定點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=．（2）D（-，0）．（3）-＜x＜．

【解析】

試題解析：（1）求解析式一般采用待定系數(shù)法，通過(guò)函數(shù)上的點(diǎn)滿(mǎn)足方程求出．

（2）平行四邊形對(duì)邊平行且相等，恰得MN為OF，即為中位線(xiàn)，進(jìn)而橫坐標(biāo)易得，D為x軸上的點(diǎn)，所以縱坐標(biāo)為0．

（3）已知S范圍求橫坐標(biāo)的范圍，那么表示S是關(guān)鍵．由PH不為平行于x軸或y軸的線(xiàn)段，所以考慮利用過(guò)動(dòng)點(diǎn)的平行于y軸的直線(xiàn)切三角形為2個(gè)三角形的常規(guī)方法來(lái)解題，此法底為兩點(diǎn)縱坐標(biāo)得差，高為橫坐標(biāo)的差，進(jìn)而可表示出S，但要注意，當(dāng)Q在O點(diǎn)右邊時(shí)，所求三角形為兩三角形的差．得關(guān)系式再代入＜s≤，求解不等式即可．另要注意求解出結(jié)果后要考慮Q本身在R、E之間的限制．

試題解析：（1）如圖1，過(guò)G作GI⊥CO于I，過(guò)E作EJ⊥CO于J，

∵A（2，0）、C（0，2），

∴OE=OA=2，OG=OC=2，

∵∠GOI=30°，∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°，

∴GI=sin30°GO=×2=，

IO=cos30°GO=×2=3，

JE=cos30°OE=×2=，

JO=sin30°OE=×2=1，

∴G（-，3），E（，1），

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax2+bx+c，

∵經(jīng)過(guò)G、O、E三點(diǎn)，

∴，解得，

∴y=．

（2）∵四邊形OHMN為平行四邊形，

∴MN∥OH，MN=OH，

∵OH=OF，

∴MN為△OGF的中位線(xiàn)，

∴xD=xN=xG=-，

∴D（-，0）．

（3）設(shè)直線(xiàn)GE的解析式為y=kx+b，

∵G（-，3），E（，1），

∴，

解得，

∴y=-x+2．

∵Q在拋物線(xiàn)y=上，

∴設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，），

∵Q在R、E兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，

∴-＜x＜．

①當(dāng)-＜x＜0時(shí)，

如圖2，連接PQ，HQ，過(guò)點(diǎn)Q作QK∥y軸，交GE于K，則K（x，-x+2），

∵S△PKQ=(yK-yQ)(xQ-xP)，

S△HKQ=(yK-yQ)(xH-xQ)，

∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=(yK-yQ)(xQ-xP)+(yK-yQ)(xH-xQ)

=(yK-yQ)(xH-xP)=× [-x+2-（x2-x）] ×[0-（-）]=-x2+．

②當(dāng)0≤x＜時(shí)，

如圖3，連接PQ，HQ，過(guò)點(diǎn)Q作QK∥y軸，交GE于K，則K（x，-x+2），

同理 S△PQH=S△PKQ-S△HKQ=(yK-yQ)(xQ-xP）-(yK-yQ）(xQ-xH)

=(yK-yQ)(xH-xP)=-x2+．

綜上所述，S△PQH=-x2+．

∵＜s≤，

當(dāng)S=時(shí)，對(duì)應(yīng)的x=-和，

因此由S=-x2+的圖象可得-＜x＜時(shí)滿(mǎn)足＜s≤，

∵-＜x＜，

∴-＜x＜．