Question

如圖,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥      AC交AB于點(diǎn)D.

(1)尺規(guī)作圖：過(guò)A，D，C三點(diǎn)作⊙O（只要求作出圖形，  保留痕跡，不要求寫作法）；

(2)求證：BC是過(guò)A，D，C三點(diǎn)的圓的切線；

(3)若過(guò)A，D，C三點(diǎn)的圓的半徑為,則線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，D，B為頂點(diǎn)的三角

形與△BCO相似.若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）作出圓心O，

以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓

（2）證明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.

∴AD是⊙O的直徑

連結(jié)OC，∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,

∴∠ACO=∠A =30°,

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. 

∴BC⊥OC,

∴BC是⊙O的切線.

（3）存在.

∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,

∴∠BCD=∠B,  即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中，DC=AD, ∴BD= .

解法一：①過(guò)點(diǎn)D作DP₁// OC，則△P₁D B∽△COB, ，

       ∵BO=BD+OD=,

∴P₁D=×OC=× =.      

        ②過(guò)點(diǎn)D作DP₂⊥AB,則△BDP₂∽△BCO, ∴，

        ∵BC＝

∴.

解法二：①當(dāng)△B P₁D∽△BCO時(shí)，∠DP₁B=∠OCB=90°.

在Rt△B P₁D中，

DP₁=.                       

②當(dāng)△B D P₂∽△BCO時(shí)，∠P₂DB=∠OCB=90°.

在Rt△B P₂D中，

DP₂=.