Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（3，）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線沿x軸翻折得拋物線，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使與相似？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）；（3），，．

【解析】

試題分析：（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁=ax²+bx,求得a、b的值，從而確定y₁的解析式；

（2）將拋物線沿x軸翻折后，仍過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（6，0），還過(guò)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．從而可求y₂的解析式；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，易證是頂角為120º的等腰三角形．分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，就是，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（9，）、．

試題解析：（1）依題意，得   解得

∴拋物線的解析式為

（2）將拋物線沿x軸翻折后，仍過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（6，0），還過(guò)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．

設(shè)拋物線的解析式為，

∴    解得

∴拋物線的解析式為．

（3）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，

則有．

∴，．

∵OC=3，OA=6，

∴AC=3.

∴，．

∴OB=AB．

即是頂角為120º的等腰三角形．

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，就是，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，假設(shè)，則有AM=OA=6，．

過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則．

∴，．  ∴OD=9.

而（9，）滿足關(guān)系式，

即點(diǎn)M在拋物線上．

根據(jù)對(duì)稱性可知，點(diǎn)也滿足條件．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，．

考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題．