Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥CD；
（2）以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，若AD=2，AC=，求點B的坐標．

Answer 1

（1）證明：連接OC．
∵直線CD與⊙O相切于點C，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥CD；

（2）解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∵AD=2，AC=，
∴AB=，
∴OB=，
∴B點坐標是（，0）．
分析：（1）連接OC，由于CD是切線，那么∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，而OA=OC，于是∠OAC=∠ACO，再結合AC是∠DAB平分線，易知∠DAC=∠OAC，從而有∠DAC=∠ACO，于是∠DCA+∠DAC=90°，即可證AD⊥CD；
（2）連接BC，由（1）知∠DAC=∠BAC，而∠ADC=∠ACB=90°，易證△ADC∽△ACB，利用比例線段，易求AB，進而可求OB，即可求出點B的坐標．
點評：本題考查了切線的性質、等邊對等角、角平分線定義、相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是連接OC、BC，構造等腰三角形、直角三角形，并證明∠DAC=∠ACO．