Question

如圖，在△ABC中，∠A+∠B=2∠ACB，BC=8，D為AB的中點，且CD=

1

2

97

，求AC的長．

Answer 1

分析：取BC的中點F，連接DF，過點D作DE⊥BC于E，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB=60°，根據(jù)中點定義求出BF=FC=4，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF∥AC且AC=2DF，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠DFE=∠ACB，設(shè)EF=x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再求出DF、AC即可．

解答：解：如圖，取BC的中點F，連接DF，過點D作DE⊥BC于E，
∵∠A+∠B=2∠ACB，
∴∠ACB+2∠ACB=180°，
∴∠ACB=60°，
∵BC=8，
∴BF=FC=4，
∵D為AB的中點，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF∥AC且AC=2DF，
∴∠DFE=∠ACB=60°，
設(shè)EF=x，則DE=

3

x，
EC=x+4，
在Rt△CDE中，DE²+EC²=CD²，
即（

3

x）²+（x+4）²=（

1

2

97

）²，
解得x=

3

4

，x=-

11

4

（舍去），
∴DF=2EF=2x=2×

3

4

=

3

2

，
AC=2DF=2×

3

2

=3．

點評：本題考查了勾股定理，三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．