Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切于點(diǎn)E，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．

Answer 1

分析：（1）直接將點(diǎn)A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）代入y=ax²+bx+c，求出a，b，c的值求出即可；
（2）首先過點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E，證明△OAB≌△EBC，即可得出CE=OB=

3

，再利用拋物線的對稱軸，即可得出拋物線的對稱軸與⊙C的位置關(guān)系；
（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)P′，首先求出PP′的最值，進(jìn)而得出，△PAC的面積最大值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），
將點(diǎn)A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）代入得：

c=3 3a+ 3 b+c=0 27a+3 3 b+c=0

，
解得：

a= 1 3 b=- 4 3 3 c=3

，
故二次函數(shù)解析式為：y=

1

3

x2-

4

3

3

x+3；

（2）拋物線的對稱軸與⊙C相切；
理由：如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E，
在Rt△OAB中，
∵OB=

3

，OA=3，OC=3

3

∴AB=2

3

，BC=2

3

，
∴AB=BC，
又∵∠ABD=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在△OAB和△EBC中，

∠AOB=∠BEC ∠OAB=∠EBC AB=BC

，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE=OB=

3

；
∵拋物線的對稱軸為：x=2

3

，
∴點(diǎn)C到對稱軸的距離為：

3

，
∴拋物線的對稱軸與⊙C相切；

（3）設(shè)AC為y=kx+b′
將A（0，3），C（3

3

，0）代入得：

b′=3 3 3 k+b′=0

，
解得：

k=- 3 3 b′=3

，
∴AC所在直線解析式為：y=-

3

3

x+3，
如圖2，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)P′，連接AP，PC，
則PP′=-

3

3

x+3-

1

3

x²+

4

3

3

x-3
=-

1

3

x²+

3

x
=-

1

3

（x-

3 3

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)x=

3 3

2

時，△PAC的面積最大，最大值為：

1

2

×PP′×CO=

27 3

8

，
當(dāng)x=

3 3

2

時，y=

1

3

x²-

4

3

3

x+3=-

3

4

，
此時，點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3 3

2

，-

3

4

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值求法等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出PP′的最值是解題關(guān)鍵．