Question

如下圖，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋建在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直．)

Answer 1

答案：
解析：

作法：設(shè)靠近A地的河岸為直線a，靠近B地的河岸為直線b． 　　(1)作BC⊥a于點C，交b于點D； 　　(2)作AE⊥a，在AE上截取AF＝CD； 　　(3)連結(jié)BF，交b于N； 　　(4)作NM⊥a于M； 　　(5)連結(jié)AM．路徑AMNB為最短路線． 　　證明：∵AF＝CD＝MN，AF∥MN． 　　∴四邊形AMNF是平行四邊形， 　　∴AMNF， 　　∴AM＋BN＝NF＋BN， 　　∵B、N、F三點共線， 　　∴NF＋BN＝BF． 　　由線段最短公理知，線段BF(即AM＋BN)為最短． 　　∴橋建在如上圖所示的MN處，使路徑AMNB最短． 　　分析：因河的兩岸是平行的直線，橋與河岸垂直，無論橋建在何處，MN總為定長．要使路徑AMNB最短，只需AM＋BN最短．設(shè)法通過變換使AM、BN構(gòu)成一條線段．采取構(gòu)造以河寬為兩邊的平行四邊形的方法，達(dá)到把線段平移的目的．