Question

如圖，拋物線與x軸交于點A（3，0），B（8，0），與y軸交于點C，且AC平分∠OCB，直線l是它的對稱軸．
（1）求直線l和拋物線的解析式；
（2）直線BC與l相交于點D，沿直線l平移直線BC，與直線l，y軸分別交于點E，F(xiàn)，探究四邊形CDEF為菱形時點E的坐標；
（3）線段CB上有一動點P，從C點開始以每秒一個單位的速度向B點運動，PM⊥BC，交線段CA于點M，記點P運動時間為t，△CPO與△CPM的面積之差為y，求y與t（0＜t≤6）之間的關系式，并確定在運動過程中y的最大值．　

Answer 1

解：（1）直線l的解析式x==．
如圖，過A作AK⊥BC于點K，
∵AC平分∠OCB，
∴AK=OA=3，CK=OC，AB=5，
∴KB=4．
方法一：設OC=x則CB=x+4，由勾股定理得：x²+8²=（x+4）²，得x=6，
∴C的坐標為（0，6）．
方法二：由△ABK∽△CBO得，得OC=6，
∴C的坐標為（0，6）
設拋物線解析式為：y=a（x-3）（x-8），將點C坐標代入可得，
∴所求拋物線解析式為：，
即．
（2）方法一：
如圖，記直線l與x軸交于點N，則NB=2.5，
∵在Rt△OBC中，tanB=，BC=，
cosB=，則DN=NB•tanB==，
DB==，
∴D點坐標為（，）．
CD=BC-DB=10-=即菱形邊長為．+=，-=-5，
∴E點坐標為（，）或（，-5）．
方法二：四邊形CDEF為菱形時，有兩種情況：
①當BC往下平移時，由菱形性質知，點E₁即為直線CA與對稱軸交點．
求得直線AC方程為：y=-2x+6，
與對稱軸的交點為E₁（，-5）．
②當BC往上平移時，即D點往上平移菱形的邊長個單位得E₂．
求得直線BC：，與對稱軸交點D的縱坐標為y_D=，
菱形邊長為y_D-y_E=-（-5）=，E₂點縱坐標為：+=．
∴四邊形CDEF為菱形時，E₁（，-5），E₂（，）．
（3）過點P作PL⊥OC，垂足為L，則∠CPL=∠B，
而Rt△BOC中，sin∠B==，cos∠B=，
由題意得CP=t，則LP=CPcos∠B=，
△CPO的面積為：，
∵CA平分∠OCB，
∴∠MCP=∠OCA，
Rt△AOC中，tan∠OCA==，
∴PM=．
△CPM的面積為：，
∴ （0＜t≤6），
當時，y有最大值為．
分析：（1）利用A（3，0），B（8，0）的橫坐標，求出直線l表達式，即3與8的平均數(shù)即為l的表達式；
（2）在Rt△ABC中，求出tanB=，BC=，cosB=，然后求出D點坐標，用BC-DB=10-=表示出CD的長，進而求出E點坐標；
（3）過點P作PL⊥OC，垂足為L，則∠CPL=∠B，由題意得CP=t，則LP=CP，表示出△CPO的面積為：，在Rt△AOC中，表示出△CPM的面積為，從而得到 （0＜t≤6），進而求出最大值．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動點問題、函數(shù)最值、配方法等知識，是一道綜合性很強的題目，有一定難度．