Question

如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過點B和點C，點A是拋物線與x軸的另一個交點．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）若點Q在拋物線的對稱軸上，能使△QAC的周長最小，請求出Q點的坐標；
（3）若直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），則是否存在這樣的直線l，使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：直線y=-x+3，
當x=0時，y=3，當y=0時，x=3，
∴C（0，3），B（3，0），
∴y=-x²+bx+3，
把B（3，0）代入得：b=2，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，頂點坐標是（1，4），
答：拋物線的解析式是y=-x²+2x+3，頂點坐標是（1，4）．

（2）解：根據(jù)對稱由B（3，0），得到A的坐標是（-1，0），
作C關于對稱軸（直線x=1）的對稱點D，連接AD交直線x=1于Q，則Q為符合條件的點，
D的坐標是（2，3），
設直線AD的解析式是y=kx+b，
把A、D的坐標代入得：
，
解得：k=1，b=1，
∴y=x+1，把x=1代入得：y=2
∴Q（1，2），
答：Q的坐標是（1，2）．

（3）解：存在，
分兩種情況：①AC∥OD，此時，y=3x，D點坐標為：（，）；
②當AC與OD不平行時，BO：BC=BD：BA，
可求得BD=2，
此時直線OD的解析式為：y=2x，
D點的坐標為：（1，2），
答：存在，當AC∥OD時，直線的函數(shù)表達式是y=3x，點D的坐標是（，）；當AC與OD不平行時，直線的函數(shù)表達式是y=2x，點D的坐標是（1，2）．
分析：（1）直線y=-x+3，求出當x=0時，y的值和當y=0時，x的值，即可得到C、B的坐標，代入即可求出答案；
（2）根據(jù)對稱由B（3，0），得到A的坐標是（-1，0），作C關于對稱軸（直線x=1）的對稱點D，連接AD交直線x=1于Q，則Q為符合條件的點，得到D的坐標，設直線AD的解析式是y=kx+b，把A、D的坐標代入求出直線AD，把x=1代入求出y=2即可得到答案；
（3）存在，分兩種情況：①AC∥OD，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出直線和點的坐標；②當AC與OD不平行時，根據(jù)BO：BC=BD：BA，求出BD=2，得到直線OD的解析式和D的坐標．
點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與X軸的交點，二次函數(shù)的三種形式，相似三角形的性質和判定，解二元一次方程組，軸對稱的性質等知識點的連接和掌握，熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強，分類討論思想的運用．