Question

如圖一，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P為BC邊上任意一點，點Q為AC邊動點，分別以Cm、MQ為邊做等邊△MPF和等邊△PQE，連接EF．

（一）試探索EF與AB位置關系，并證明；

（5）如圖5，當點P為BC延長線上任意一點時，（一）結論是否成立？請說明理由．

（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P為BC延長線上一點，點Q為AC邊動點，分別以CP、PQ為腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，連接EF．要使（一）的結論依然成立，則需要添加怎樣的條件？為什么？

 

Answer 1

【答案】

 

(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【解析】（1）通過等邊三角形的性質（三條邊相等、三個角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明△PFE≌△PCQ，再根據(jù)全等三角形的性質（對應角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下來由平行線的判定定理（同位角相等，兩直線平行）知PF∥AB；最后由平行線的性質（兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線）知EF⊥AB；

（2）通過等邊三角形的性質（三條邊相等、三個角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明△PFE≌△PCQ，再根據(jù)全等三角形的性質（對應角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下來由平行線的判定定理（內錯角相等，兩直線平行）知PF∥AB；最后由平行線的性質（兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線）知EF⊥AB；

（3）需要添加的條件需滿足：△PFE≌△PCQ、PF∥AB（內錯角相等，兩直線平行）．

解：（1）EF⊥AB．

∵△PCF和△PQE都是等邊三角形，

∴PF=PC，PE=PQ，

∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°，

∴∠EPF=∠QPC，

∴△PFE≌△PCQ；

∴∠EPF=∠QPC=60°，

∴EF⊥PF；

在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°，

∴∠B=60°；

又∵∠FPC=60°，

∴∠B=∠FPC，

∴PF∥AB（同位角相等，兩直線平行），

∴EF⊥AB；

（2）當點P為BC延長線上任意一點時，（1）結論成立．

證明：∵△PCF和△PQE都是等邊三角形，

∴PF=PC，PE=PQ，

∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°，

∴∠EPF=∠QPC，

∴△PFE≌△PCQ；

∴∠EFP=∠QCP=60°，

∴EF⊥PF；

在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°，

∴∠B=60°；

又∵∠FPC=60°，

∴∠B=∠FPC，

∴PF∥AB（內錯角相等，兩直線平行），

∴EF⊥AB；

（3）要使（1）1結論依然成立，則需要添加條件是：∠CPF=∠B=∠QPE．

需要證明△PFE≌△PCQ、PF∥AB（內錯角相等，兩直線平行），才能證明EF⊥AB．