Question

已知二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸相交于A、B兩點（A左B右），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）求m的取值范圍；
（2）當點A的坐標為（-3，0），求點B的坐標；
（3）當BC⊥CD時，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸相交于A、B兩點，所以b²-4ac＞0，進而求出m的取值范圍；
（2）把點A的坐標為（-3，0），代入二次函數(shù)y=-x²+2x+m，求出m的值，再解方程從而求出點B的坐標；
（3）當BC⊥CD時，過D作DE⊥y軸，證明△DEC∽△COB，得比例式，進而求出m的值．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸相交于A、B兩點
∴b²-4ac＞0，
∴4+4m＞0，
解得：m＞-1；

（2）把x=-3，y=0代入y=-x²+2x+m中得m=15，
∴二次函數(shù)的表達式為y=-x²+2x+15，
令y=0得-x²+2x+15=0，
解得x₁=-3，x₂=5，
∴點B的坐標為（5，0）；

（3）如圖，過D作DE⊥y軸，垂足為E，
∴∠DEC=∠COB=90°，
當BC⊥CD時，∠DCE+∠BCO=90°，
∵∠DEC=90°，
∴∠DCE+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠BCO，
∴△DEC∽△COB，
∴=，
由題意得：OE=m+1，OC=m，DE=1，
∴EC=（m+1）-m=1，
∴=，
∴OB=m，
∴B的坐標為（m，0），
將（m，0）代入y=-x²+2x+m得：-m²+2m+m=0．
解得：m₁=0（舍去），m₂=3．
∴m的值是3．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查函數(shù)的性質(zhì)和坐標，與三角形相似的性質(zhì)，探究一些存在性問題，難度較大，靈活運用函數(shù)性質(zhì)來解題，考查知識點全面．