Question

如圖矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB=a，BC=b（a＜b），點(diǎn)M、N分別為邊AD、BC上兩點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），連接MN．若對(duì)角線BD與MN交于點(diǎn)O，分別沿BM、DN折疊，折疊后點(diǎn)A、C恰好都落在點(diǎn)O處，并且得到的四邊形是菱形BNDM．
請(qǐng)你探索a、b之間的數(shù)量關(guān)系，并求出當(dāng)a=

3

時(shí)，菱形BNDM的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OB=AB，OD=CD，然后求出BD=2a，再根據(jù)勾股定理列式整理即可得到a、b的關(guān)系式；
先判斷出∠ADB=30°，然后解直角三角形求出OM，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分求出MN的長(zhǎng)，然后利用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解．

解答：解：∵沿BM、DN折疊，折疊后點(diǎn)A、C恰好都落在點(diǎn)O處，
∴OB=AB，OD=CD，
∵矩形紙片的邊長(zhǎng)AB=a，
∴BD=OB+OD=2AB=2a，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，AD²+AB²=BD²，
即b²+a²=（2a）²，
整理得，b=

3

a；

∵BD=2a，AB=a，
∴∠ADB=30°，
∴OM=

3

3

OD=

3

3

a，
在菱形BNDM中，MN=2OM=

2 3

3

a，
∴菱形BNDM的面積=

1

2

BD•MN=

1

2

×2a•

2 3

3

a=

2 3

3

a²，
∵a=

3

，
∴菱形BNDM的面積=

2 3

3

×

3

²=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．