Question

如圖，已知點A（0，1），C（4，3），E（，），P是以AC為對角線的矩形ABCD內部（不在各邊上）的一動點，點D在y軸上，拋物線y=ax²+bx+1以P為頂點．
（1）說明點A，C，E在一條直線上；
（2）能否判斷拋物線y=ax²+bx+1的開口方向？請說明理由；
（3）設拋物線y=ax²+bx+1與x軸有交點F、G（F在G的左側），△GAO與△FAO的面積差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點，這時能確定a、b的值嗎？若能，請求出a，b的值；若不能，請確定a、b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，A（0，1）、C（4，3）兩點確定的直線解析式為：y=x+1
將點E的坐標（，），代入y=x+1中，左邊=，右邊=×+1=．
∵左邊=右邊
∴點E在直線y=x+1上，
即點A、C、E在一條直線上；

（2）解法一：由于動點P在矩形ABCD的內部，
∴點P的縱坐標大于點A的縱坐標，而點A與點P都在拋物線上，且P為頂點，
∴這條拋物線有最高點，拋物線的開口向下．
解法二：
∵拋物線y=ax²+bx+1的頂點P的縱坐標為，且P在矩形ABCD的內部，
∴1＜＜3，由1＜1-得-＞0．
∴a＜0．
∴拋物線開口向下；

（3）連接GA、FA．
∵S_△GAO-S_△FAO=3
∴GO•AO-FO•AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
設F（x₁，0），G（x₂，0），
則x₁、x₂是方程ax²+bx+1=0的兩個根，且x₁＜x₂，
又∵a＜0
∴x₁•x₂=＜0，
∴x₁＜0＜x₂
∴GO=x₂、FO=-x₁
∴x₂-（-x₁）=6，即x₂+x₁=6
∵x₂+x₁=∴=6
∴b=-6a
∴拋物線的解析式為：y=ax²-6ax+1，其頂點P的坐標為（3，1-9a）
∵頂點P在矩形ABCD的內部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-＜a＜0①
由方程組，
得：ax²-（6a+）x=0
∴x=0或x==6+
當x=0時，即拋物線與線段AE交于點A，而這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點，
則有：0＜6+≤，
解得：-a＜-②
綜合①②，得-＜a＜-
∵b=-6a，
∴＜b＜．
分析：（1）說明點A、C、E在一條直線上，只要求出過A、C的直線的解析式，然后判斷E是否滿足函數(shù)的解析式就可以；
（2）由于動點P在矩形ABCD的內部，因而點P的縱坐標大于點A的縱坐標，而點A與點P都在拋物線上，且P為頂點，則拋物線有最高點，拋物線的開口向下；
（3）已知△GAO與△FAO的面積差為3，而這兩個三角形的高相同是OA的長，等于1，因而就可以得到OG與OF的長度的一個關系式．拋物線y=ax²-6ax+1的頂點可以用a表示出來，頂點P在矩形ABCD的內部，即可以求出a的取值范圍．
點評：本題綜合運用了拋物線的頂點坐標的求法，以及一元二次方程的求解和韋達定理．難度較大．