如圖,直線x=-4與x軸交于點E,一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A,交直線x=-4于點B,過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C,直線OC交直線AB于D,且AD:BD=1:3.
(1)求點A的坐標;
(2)若△OBC是等腰三角形,求此拋物線的函數(shù)關系式.
【答案】分析:(1)過點D作DF⊥x軸于點F,由拋物線的對稱性可知OF=AF,則2AF+AE=4①,由DF∥BE,得到△ADF∽△ABE,根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出==,即AE=2AF②,①與②聯(lián)立組成二元一次方程組,解出AE=2,AF=1,進而得到點A的坐標;
(2)先由拋物線過原點(0,0),設此拋物線的解析式為y=ax2+bx,再根據(jù)拋物線過原點(0,0)和A點(-2,0),求出對稱軸為直線x=-1,則由B點橫坐標為-4得出C點橫坐標為2,BC=6.再由OB>OC,可知當△OBC是等腰三角形時,可分兩種情況討論:①當OB=BC時,設B(-4,y1),列出方程,解方程求出y1的值,將A,B兩點坐標代入y=ax2+bx,運用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式;②當OC=BC時,設C(2,y2),列出方程,解方程求出y2的值,將A,C兩點坐標代入y=ax2+bx,運用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式.
解答:解:(1)如圖,過點D作DF⊥x軸于點F.
由題意,可知OF=AF,則2AF+AE=4①.
∵DF∥BE,
∴△ADF∽△ABE,
==,即AE=2AF②,
①與②聯(lián)立,解得AE=2,AF=1,
∴點A的坐標為(-2,0);

(2)∵拋物線過原點(0,0),
∴可設此拋物線的解析式為y=ax2+bx.
∵拋物線過原點(0,0)和A點(-2,0),
∴對稱軸為直線x==-1,
∵B、C兩點關于直線x=-1對稱,B點橫坐標為-4,
∴C點橫坐標為2,
∴BC=2-(-4)=6.
∵拋物線開口向上,
∴∠OAB>90°,OB>AB=OC,
∴當△OBC是等腰三角形時,分兩種情況討論:
①當OB=BC時,設B(-4,y1),
則16+=36,解得y1=±2(負值舍去).
將A(-2,0),B(-4,2)代入y=ax2+bx,
,解得
∴此拋物線的解析式為y=x2+x;
②當OC=BC時,設C(2,y2),
則4+=36,解得y2=±4(負值舍去).
將A(-2,0),C(2,4)代入y=ax2+bx,
,解得
∴此拋物線的解析式為y=x2+x.
綜上可知,若△OBC是等腰三角形,此拋物線的函數(shù)關系式為y=x2+x或y=x2+x.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到二次函數(shù)的對稱性,相似三角形的判定與性質,運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式,等腰三角形的性質,兩點間的距離公式等知識,綜合性較強,難度適中.運用數(shù)形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵.
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