Question

 已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在第一象限且△OAB為正三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的圓的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D．

【小題1】（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
【小題2】（2）求直線(xiàn)CD的函數(shù)解析式；
【小題3】（3）設(shè)E、F分別是線(xiàn)段AB、AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
試探究：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AEF的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【小題1】解：（1）∵A（2，0），
∴OA=2．
作BG⊥OA于G，
∵△OAB為正三角形，∴OG=1，BG=，
∴B（1，）． ………………………………1分
連AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°．
，∴OC=．  
∴C（0，）． …………………………………2分
【小題2】（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圓的直徑，
又∵CD是圓的切線(xiàn)，∴CD⊥AC．
∴∠OCD=30°，OD=．∴D（，0）．
設(shè)直線(xiàn)CD的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得 
∴直線(xiàn)CD的解析式為y=．…4分
【小題3】（3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)6+．
設(shè)AE=t，△AEF的面積為S，
則AF=3+－t，S=（3+）．
∵S=（3+）=．
∵點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段AB、AD上，
∴   ∴…………………………6分
∴當(dāng)t=時(shí)，S_最大=．…………8分

解析