Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2

3

，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)．設(shè)CP=x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y．
（1）求∠CPQ的度數(shù)．
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的邊AB上？
（3）當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD外部時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．并求此時(shí)函數(shù)值y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）此題首先要抓住運(yùn)動(dòng)變換中的不變量和不變關(guān)系：①矩形的長(zhǎng)度；②△ABD和△BCD的形狀特征及三邊關(guān)系；③PQ∥BD；④△PQC與△PQR關(guān)于PQ對(duì)稱，滿足軸對(duì)稱的一切性質(zhì)等；
（2）要找準(zhǔn)瞬間狀態(tài)，準(zhǔn)確的畫出圖形，變動(dòng)為不動(dòng)；
（3）以（2）題的結(jié)論為界點(diǎn)，分段考慮問(wèn)題．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2

3

，∠C=90°，
∴CD=6，BC=2

3

；
∴tan∠CDB=

BC

CD

=

3

3

；
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；

（2）如圖，由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CPQ=60°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP；
令CP=x，
∴RP=x，PB=2

3

-x；
在△RPB中，根據(jù)題意，得：2（2

3

-x）=x，解得x=

4 3

3

；

（3）當(dāng)R在矩形ABCD的外部時(shí)，

4

3

3

＜x＜2

3

；
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2

3

-x）；
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4

3

；
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=

3

x-4；
∴S_△ERF=

1

2

ER×FR=

3 3

2

x²-12x+8

3

；
∴y=S_△RPQ-S_△ERF；
∴當(dāng)

4

3

3

＜x＜2

3

時(shí)，y=-

3

x²+12x-8

3

．
∴

8 3

3

＜y＜4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題是“動(dòng)態(tài)類”問(wèn)題，涉及到矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，注意分類討論．