【題目】如圖,長方形紙片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步驟進行裁剪和拼圖:
第一步:如圖①,在線段AD上任意取一點E,沿EB,EC剪下一個三角形紙片EBC(余下部分不再使用);
第二步:如圖②,沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分,并在線段GH上任意取一點M,線段BC上任意取一點N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分;
第三步:如圖③,將MN左側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°,使線段GB與GE重合,將MN右側(cè)紙片繞H點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°,使線段HC與HE重合,拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片.
(注:裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊)
則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為cm,最大值為cm.

【答案】20;12+
【解析】解:畫出第三步剪拼之后的四邊形M1N1N2M2的示意圖,如答圖1所示.
圖中,N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位線定理),
又∵M1M2∥N1N2 , ∴四邊形M1N1N2M2是一個平行四邊形,
其周長為2N1N2+2M1N1=2BC+2MN.
∵BC=6為定值,∴四邊形的周長取決于MN的大。
如答圖2所示,是剪拼之前的完整示意圖.

過G、H點作BC邊的平行線,分別交AB、CD于P點、Q點,則四邊形PBCQ是一個矩形,這個矩形是矩形ABCD的一半.
∵M是線段GH上的任意一點,N是線段BC上的任意一點,
根據(jù)垂線段最短,得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離,即MN最小值為4;
而MN的最大值等于矩形對角線的長度,即 = =
∵四邊形M1N1N2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN,
∴四邊形M1N1N2M2周長的最小值為12+2×4=20,
最大值為12+2× =12+
所以答案是:20,12+
【考點精析】掌握三角形中位線定理和矩形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半;矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.

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紙盒

紙板

豎式紙盒(個)

橫式紙盒(個)

x

100﹣x

正方形紙板(張)

2100﹣x

長方形紙板(張)

4x

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