Question

某計(jì)算裝置有一個(gè)數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算結(jié)果的出口B，將自然數(shù)中的各數(shù)依次輸入A口，從B口分別得到輸出的數(shù)．結(jié)果表明：
①?gòu)腁口輸入n=1時(shí)，從B口得到a₁=

1

3

；
②當(dāng)n≥2時(shí)，從A口輸入n，從B口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果a_n-1先乘以自然數(shù)中和第n-1個(gè)奇數(shù)再除以自然數(shù)中和第n+1個(gè)奇數(shù)，
試問(wèn)：（1）從A口輸入2和3時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？
（2）從A口輸入2008時(shí)，從B口得到什么數(shù)？
（3）求：a₁+a₂+a₃…+a₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得答案；
（2）通過(guò)觀察（1）中的規(guī)律即可得出答案；
（3）找出一般形式a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）即可求解．

解答：解：（1）由題意知：a₂=a₁×

1

5

=

1

3

×

1

5

=

1

2×2-1

×

1

2×2+1

=

1

15

，
a₃=

1

2×3-1

×

1

2×3+1

=

1

35

；

（2）觀察（1）的規(guī)律可得：a₂₀₀₈=

1

4015

×

1

4017

=

1

16128255

；

（3）找出一般形式為：a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴a₁+a₂+a₃+a₂₀₀₈=

1

2

（

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…-

1

4017

）=

1

2

×

4016

4017

=

2008

4017

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整數(shù)的奇偶性問(wèn)題及數(shù)字的規(guī)律變化，難度適中，關(guān)鍵是找出一般形式a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．