【題目】已知拋物線C1:y=ax2+bx+c向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2:y=x2.
(1)直接寫(xiě)出拋物線C1的解析式 ;
(2)如圖1,已知拋物線C1與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),點(diǎn)P(,t)在拋物線C1上,QB⊥PB交拋物線于點(diǎn)Q.求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn)E,M在拋物線C2上,EM∥x軸,點(diǎn)E在點(diǎn)M的左側(cè),過(guò)點(diǎn)M的直線MD與拋物線C2只有一個(gè)公共點(diǎn)(MD與y軸不平行),直線DE與拋物線交于另一點(diǎn)N.若線段NE=DE,設(shè)點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)分別為m,n,直接寫(xiě)出m和n的數(shù)量關(guān)系(用含m的式子表示n)為 .
【答案】(1)y=(x﹣1)2﹣4;(2)Q(﹣,);(3)n=(1±2)m
【解析】
(1)逆向考慮,拋物線C2平移到拋物線C1,即可求拋物線C1的解析式;
(2)求出A、B、P的點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)Q(t,t2-2t-3),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸交于點(diǎn)N,可以證明△BNQ∽△QMP,由相似可得=,求出t即可;
(3)求出M、N、E點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)MD的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)M代入解析式可得y=kx+m2-km,再由直線MD與拋物線y=x2只有一個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立方程kx+m2-km=x2,由判別式△=0可得k=2m,則直線MD為y=2mx-m2,在求出D點(diǎn)坐標(biāo)代入MD的解析式即可求解.
(1)由已知可知,拋物線C2:y=x2向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C1:y=ax2+bx+c,
∴拋物線C1:y=(x﹣1)2﹣4,
故答案為y=(x﹣1)2﹣4;
(2)∵y=(x﹣1)2﹣4,
令y=0,(x﹣1)2﹣4=0,
解得x=3或x=﹣1,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵點(diǎn)P(,t)在拋物線C1上,
∴t=(﹣1)2﹣4,解得t=﹣,
∴P(,﹣),
設(shè)Q(t,t2﹣2t﹣3),
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸交于點(diǎn)N,
∵BQ⊥BP,
∴∠QBN+∠MBP=∠QBN+∠MQN=90°,
∴∠BQN=∠PBM,
∴△BNQ∽△QMP,
∴=,
∴=,
∴t=﹣或t=3,
∵Q點(diǎn)在第二象限,
∴t=﹣,
∴Q(﹣,);
(3)∵點(diǎn)M與N在y=x2上,
∴M(m,m2),N(n,n2)
∵EM∥x軸,
∴E(﹣m,m2),
設(shè)MD的解析式為y=kx+b,
∴m2=km+b,
∴b=m2﹣km,
∴y=kx+m2﹣km,
∵直線MD與拋物線y=x2只有一個(gè)交點(diǎn),
∴kx+m2﹣km=x2,
∴△=k2﹣4(m2+km)=0,
∴k=2m,
∴直線MD的解析式為y=2mx﹣m2,
∵NE=DE,
∴D(﹣2m﹣n,2m2﹣n2),
∴2m2﹣n2=2m(﹣2m﹣n)﹣m2,
整理得,n2﹣2mn﹣7m2=0,
∴n=(1±2)m,
故答案為n=(1±2)m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá),利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)﹣﹣運(yùn)用函數(shù)解決問(wèn)題”的學(xué)習(xí)過(guò)程,在畫(huà)函數(shù)圖象時(shí),我們通過(guò)描點(diǎn)或平移的方法畫(huà)出了所學(xué)的函數(shù)圖象.已知函數(shù)y=2﹣b的定義域?yàn)?/span>x≥﹣3,且當(dāng)x=0時(shí)y=2﹣2由此,請(qǐng)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y=2﹣b的圖象與性質(zhì)進(jìn)行如下探究:
(1)函數(shù)的解析式為: ;
(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系xOy中,畫(huà)出該函數(shù)的圖象并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì): ;
(3)結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象與y=x+1的圖象,直接寫(xiě)出不等式2﹣b≤x+1的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)四位數(shù),若首位和末位都是1,稱這樣的數(shù)為“首尾雙一數(shù)”,例如:1231,1581,1941等都是“首尾雙一數(shù)”.
(1)證明:一個(gè)“首尾雙一數(shù)”與它去掉首位和末位后得到的兩位數(shù)的3倍的差能被7整除;
(2)給定一個(gè)“首尾雙一數(shù)”n,記D(n)=,求滿足D(n)是完全平方數(shù),且n的所有位數(shù)上的數(shù)字之和為偶數(shù)的所有n.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+2x+m交x軸于點(diǎn)A(a,0)和B(b,0),交y軸于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,下列四個(gè)結(jié)論:
①點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m);
②當(dāng)m=0時(shí),△ABD是等腰直角三角形;
③若a=﹣1,則b=4;
④拋物線上有兩點(diǎn)P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1<x2,且x1+x2>2,則y1>y2.
其中結(jié)論正確的序號(hào)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司共有三個(gè)部門,根據(jù)每個(gè)部門的員工人數(shù)和相應(yīng)每人所創(chuàng)的年利潤(rùn)繪制成如下的統(tǒng)計(jì)表和扇形圖.
各部門人數(shù)及每人所創(chuàng)年利潤(rùn)統(tǒng)計(jì)表
部門 | 員工人數(shù) | 每人所創(chuàng)的年利潤(rùn)/萬(wàn)元 |
A | 5 | 10 |
B | 8 | |
C | 5 |
(1)①在扇形圖中,C部門所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為_(kāi)__________;
②在統(tǒng)計(jì)表中,___________,___________;
(2)求這個(gè)公司平均每人所創(chuàng)年利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】文具店有三種品牌的6個(gè)筆記本,價(jià)格是4,5,7(單位:元)三種,從中隨機(jī)拿出一個(gè)本,已知(一次拿到7元本).
(1)求這6個(gè)本價(jià)格的眾數(shù).
(2)若琪琪已拿走一個(gè)7元本,嘉嘉準(zhǔn)備從剩余5個(gè)本中隨機(jī)拿一個(gè)本.
①所剩的5個(gè)本價(jià)格的中位數(shù)與原來(lái)6個(gè)本價(jià)格的中位數(shù)是否相同?并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
②嘉嘉先隨機(jī)拿出一個(gè)本后不放回,之后又隨機(jī)從剩余的本中拿一個(gè)本,用列表法求嘉嘉兩次都拿到7元本的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同開(kāi)鑿一條隧道,甲隊(duì)按一定的工作效率先施工,一段時(shí)間后,乙隊(duì)從隧道的另一端按一定的工作效率加入施工,中途乙隊(duì)調(diào)離一部分工人去完成其他任務(wù),工作效率降低.當(dāng)隧道氣打通時(shí),甲隊(duì)工作了40天,設(shè)甲,乙兩隊(duì)各自開(kāi)鑿隧道的長(zhǎng)度為y(米),甲隊(duì)的工作時(shí)間為x(天),y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)求甲隊(duì)的工作效率.
(2)求乙隊(duì)調(diào)離一部分工人后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式
(3)求這條隧道的總長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A是⊙O直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AC是⊙O的切線,C為切點(diǎn).AD=CD,
(1)求證:AC=BC;
(2)若⊙O的半徑為1,求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,以B為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),再分別以點(diǎn)E,F(xiàn)為圓心、以大于EF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AC于點(diǎn)D,則∠BDC為( 。┒龋
A. 65 B. 75 C. 80 D. 85
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