Question

如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，動點E（與點A、C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于點F．

【小題1】當△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時，求CE的長
【小題2】當△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長
【小題3】試問在AB上是否存在點P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出EF的長．

Answer 1

【小題1】CE＝2
【小題2】
【小題3】在AB上存在點P．使△EFP為等腰直角三角形，此時EF＝或EF＝解析:
解：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等，
∴S△ECF：S△ACB=1：2，
又∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB，
∴,且AC=4，
∴CE=2；
（2）設CE的長為x，
∵△ECF∽△ACB，
∴,∴CF=x，
由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等，得：
x+EF+x=(4-x)+5+(3-x)+EF
解得x=，∴CE的長為
（3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況：
①如圖1，假設∠PEF=90°，EP=EF
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜邊AB上高CD=,設EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

即，
解得x=，即EF=
當∠EFP´=90°，EF=FP′時，同理可得EF=；
②如圖2，假設∠EPF=90°，PE=PF時，點P到EF的距離為EF
設EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

解得x= ，即EF= 
綜上所述，在AB上存在點P，使△EFP為等腰直角三角形，此時EF=或EF=