Question

如圖所示，⊙O分別切△ABC的三邊AB，BC，CA于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若BC=a，AC=b，AB=c．
求：（1）AD，BE，CF的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)∠C=90°時(shí)，內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理列方程組求解；
（2）根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)發(fā)現(xiàn)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于它的一條切線長(zhǎng)，再進(jìn)一步根據(jù)（1）的結(jié)論發(fā)現(xiàn)直角三角形的內(nèi)切圓半徑公式．

解答：解：

（1）設(shè)AD=x，BE=y，CF=z，由切線長(zhǎng)性質(zhì)可知AD=AF，BD=BE，CE=CF．
則

x+y=c y+z=a z+x=b

，
解得

x= b+c-a 2 y= a+c-b 2 z= a+b-c 2

，
即AD=

b+c-a

2

，BE=

a+c-b

2

，CF=

a+b-c

2

．

（2）如右圖所示，設(shè)⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，
連接OD，OE，OF，則OD⊥AC，OF⊥AB，OE⊥BC．
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為正方形，則
CD=CE=r，AD=AF=b-r，BF=BE=a-r，而AF+BF=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

a+b-c

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用切線長(zhǎng)定理，能夠根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理推導(dǎo)出直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．