【題目】已知△ABC是邊長為的等邊三角形.將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角θθ180°),得到△ADE,BDEC所在直線相交于點O

1)如圖a,當(dāng)θ=20°時,判斷△ABD與△ACE是否全等?并說明理由;

2)當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(60°θ120°),求∠BOE的度數(shù);

3)在θ60°120°的旋轉(zhuǎn)過程中,點O運(yùn)動的軌跡長為

【答案】(1)全等,理由見解析;(2)120°;(3

【解析】

1)結(jié)論:△ABD≌△ACE.根據(jù)SAS證明即可.
2)利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.
3)如圖b中,ADAEJ.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為K.證明∠AOC=120°,推出點O的運(yùn)動軌跡是K為圓心,KC半徑的圓弧,圓心角為60°從而可以求得運(yùn)動的軌跡.

解:(1)結(jié)論:△ABD≌△ACE

∵△ADE是由△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)θ得到,∴△ABC是等邊三角形.

ABADACAE,∠BAD=∠CAE20°,

在△ABD與△ACE中,∵ABAC,∠BAD=∠CAE,ADAE,

∴△ABD≌△ACESAS).

2)由已知得:△ABC和△ADE是全等的等邊三角形,∴ABADACAE

∵△ADE是由△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)θ得到的,∴∠BAD=∠CAEθ

∴△BAD≌△CAESAS).∴∠ADB=∠AEC

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD180°,∴∠AEC+∠ABO+∠BAD180°

∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE360°,∠BAE=∠BAD+∠DAE,

∴∠DAE+∠BOE180°

又∵∠DAE60°,∴∠BOE120°

3)如圖b中,ADAEJ.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為K

∵△ABD≌△ACE,
∴∠ODJ=AEJ
∵∠AJE=OJD,
∴∠EAJ=JOD=60°,
∴∠AOC=120°
∴點O的運(yùn)動軌跡是K為圓心,KC半徑的圓弧,圓心角為60°
∴當(dāng)θ60°120°的旋轉(zhuǎn)過程中,運(yùn)動的軌跡為=,
故答案為:

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