Question

如圖M、N分別是平行四邊形ABCD的對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM相交于Q．求證：PMQN為矩形．

Answer 1

證明：∵ABCD為平行四邊形，
∴AD平行且等于BC，
又∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，
∴MD平行且等于BN，
∴BNDM為平行四邊形，
∴BM∥ND，
同理AN∥MC，
∴四邊形PMQN為平行四邊形，
連接MN，
∵AM平行且等于BN，
∴四邊形ABNM為平行四邊形，
又∵AD=2AB，M為AD中點(diǎn)，
∴BN=AB，
∴四邊形ABNM為菱形，
∴AN⊥BM，
∴平行四邊形PMQN為矩形．
分析：連接MN．由于四邊形ABCD是平行四邊形，那么AD平行且等于BC，而M、N是AD、BC的中點(diǎn)，從而可證DM平行且等于BN，于是可證四邊形BNDM是平行四邊形，則BM∥DN，同理可證AN∥CM，那么可證四邊形PNQM是平行四邊形，由于AM平行等于BN，且AB=BN=BC，則可知四邊形ABNM是菱形，利用菱形的性質(zhì)，可知AN⊥BM，即∠MPN=90°，那么平行四邊形PNQM是矩形．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定．