Question

已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如圖1，當點O、A、C在同一條直線上時，∠BOD的度數(shù)是______；
如圖2，若OB恰好平分∠COD，則∠AOC的度數(shù)是______；


（2）當∠COD從圖1的位置開始，繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD，在旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)∠MON的度數(shù)保持不變．
①∠MON的度數(shù)是______；
②請選擇下列圖3、圖4、圖5、圖6四種情況中的兩種予以證明．

Answer 1

解：（1）∵點O、A、C在同一條直線上
∴∠BOD=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°
∵OB平分∠COD
∴=
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-15°=75°

（2）①∠MON=60°
②圖4證明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴，
∵∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC
=∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON
==
=60°
圖5證明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴，
∵∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
∴∠AOC+∠BOD-2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠CON
=∠MOC+∠BON-∠BOC
=
=
=60°．
分析：（1）根據(jù)角的計算法則即可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)角的平分線定義可得，根據(jù)角的計算可求出∠AOC的度數(shù)．
（2），，再根據(jù)角的計算進行轉(zhuǎn)換即可求出∠MON的度數(shù)．
點評：本題考查了角平分線定義和角的計算，關(guān)鍵是求出∠AOC，∠BOD和∠BOC的關(guān)系，然后計算即可．