Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M為DE的中點，AM與BE相交于N，AD與BE相交于F．
求證：（1）

DE

CE

=

AD

CD

；        
（2）△BCE∽△ADM．

Answer 1

分析：（1）由AD與BC垂直，DE與AC垂直，利用垂直的定義得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△DEC∽△ADC，根據相似三角形的對應邊成比例得到比例式，變形后即可得證；
（2）由三角形ADC與三角形DEC都為直角三角形，利用同角的余角相等得出一對角相等，根據M為中點，得到DE=2DM，AB=AC且AD⊥BC，利用三線合一得到D為BC的中點，可得出CD=

1

2

BC，代入（1）得出的比例式中，變形后得到兩對對應邊相等，利用兩對對應邊且夾角相等的兩三角形相似可得證．

解答：（1）解：∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=90°，又∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴

DE

AD

=

CE

DC

，
∴

DE

CE

=

AD

CD

；

（2）解：∵∠ADC=∠DEC=90°，
∴∠ADM+∠EDC=90°，∠EDC+∠BCE=90°，
∴∠ADM=∠BCE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D為BC的中點，即BD=CD=

1

2

BC，
∵M為DE的中點，
∴DM=EM=

1

2

DE，
由（1）得

DE

CE

=

AD

CD

，
∴

2DM

CE

=

AD

1 2 BC

，
∴

DM

CE

=

AD

BC

，
∴△BCE∽△ADM．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，其中相似三角形的判定方法有：兩對對應角相等的兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對應成比例的兩三角形相似，本題第二問用的是第二種方法．