Question

在正方形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A引射線(xiàn)AH，交邊CD于點(diǎn)H（點(diǎn)H與點(diǎn)D不重合）．通過(guò)翻折，使點(diǎn)B落在射線(xiàn)AH上的點(diǎn)G處，折痕AE交BC于E，延長(zhǎng)EG交CD于F．
[感知]如圖①，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合時(shí)，可得FG=FD．
[探究]如圖②，當(dāng)點(diǎn)H為邊CD上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想FG與FD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
[應(yīng)用]在圖②中，當(dāng)AB=5，BE=3時(shí)，利用探究的結(jié)論，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

解：猜想FD=FG．
證明：連接AF，
由折疊的性質(zhì)可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，，
∴△AGF≌△ADF．
故可得FG=FD．
[應(yīng)用]設(shè)FG=x，則FC=5-x，F(xiàn)E=3+x，
在Rt△ECF中，EF²=FC²+EC²，即（3+x）²=（5-x）²+2²，
解得x=．
即FG的長(zhǎng)為．
分析：[探究]連接AF，根據(jù)圖形猜想FD=FG，由折疊的性質(zhì)可得AB=AG=AD，再結(jié)合AF為△AGF和△ADF的公共邊，從而證明△AGF≌△ADF，從而得出結(jié)論．
[應(yīng)用]設(shè)FG=x，則FC=5-x，F(xiàn)E=3+x，在RT△ECF中利用勾股定理可求出x的值，進(jìn)而可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換及正方形的性質(zhì)，掌握△AGF≌△ADF始終不變是解答本題的關(guān)鍵，另外在進(jìn)行結(jié)論的應(yīng)用時(shí)，得出Rt△EFC的各邊后運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解時(shí)，要細(xì)心避免出錯(cuò)．