【題目】ABC中,∠C=90°,BAC=60°,ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°),點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上時(shí),試判斷DEAC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B、D、E三點(diǎn)恰好在一直線上時(shí),旋轉(zhuǎn)角α=__°,此時(shí)直線CEAB的位置關(guān)系是__

(3)在(2)的條件下,聯(lián)結(jié)AE,設(shè)BDC的面積S1,AEC的面積S2,則S1S2的數(shù)量關(guān)系是_____

(4)如圖3,當(dāng)點(diǎn)B、D、E三點(diǎn)不在一直線上時(shí),(3)中的S1S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎?試說(shuō)明理由.

【答案】 (1)DEAC (2) 120° ECAB. S1=S2) (4) S1=S2仍然成立

【解析】試題分析:

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EDC=∠BAC,DC=AC結(jié)合∠BAC=60°,可得△ADC是等邊三角形,從而可得∠DCA=∠EDC=60°,由此可得DE∥AC;

(2)如下圖2,在△ABC中,由∠C=90°,∠BAC=60°可得∠ABC=30°,延長(zhǎng)ECAB于點(diǎn)F,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=BE,∠E=∠ABC=30°,結(jié)合B、D、E的三點(diǎn)在同一直線上可得∠CBE=∠E=30°,從而可得旋轉(zhuǎn)角∠BCE=120°,結(jié)合∠BCE=∠ABC+∠BFC,∠ABC=30°,可得∠BFC=90°,從而可得EC⊥AB;

(3)如上圖2,過(guò)點(diǎn)DDH⊥BC于點(diǎn)H,由∠DCF=∠ACB=90°易得∠ACF=∠DCH,結(jié)合∠AFC=∠DHC=90°,AC=DC可得△ACF≌△DCH,從而可得AF=DH,結(jié)合BC=EC即可得到S1=S2

(4)如下圖3,過(guò)DDH⊥BCH,過(guò)AAG⊥ECEC的延長(zhǎng)線于G,(3)同理可得△AGC≌△DHC,從而可得AG=HD,結(jié)合EC=BC即可得到S1=S2仍然成立.

試題解析

(1)DEAC.理由:∵△ABC旋轉(zhuǎn)后與DCE全等,

∴∠A=CDE,AC=DC.

∵∠BAC=60°,AC=DC,

∴△DAC是等邊三角形.

∴∠DCA=60°.

又∵∠CDE=BAC=60°,

∴∠DCA=CDE=60°,

DEAC.

(2)120°;EC⊥AB,理由如下

如下圖2,延長(zhǎng)ECAB于點(diǎn)F,

在△ABC中,由∠C=90°,∠BAC=60°,

∴∠ABC=30°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:CE=BE,∠E=∠ABC=30°,

∵B、D、E的三點(diǎn)在同一直線上

∴∠CBE=∠E=30°,

旋轉(zhuǎn)角∠BCE=120°,

∵∠BCE=∠ABC+∠BFC,∠ABC=30°,

∴∠BFC=120°-30°=90°,

∴EC⊥AB于點(diǎn)F;

(3)S1=S2,理由如下

如上圖2,連接AE,過(guò)點(diǎn)DDH⊥BC于點(diǎn)H,

∴∠AFC=∠DHC=90°,

∵∠ACB=∠DCE=90°,

∴∠ACF=∠DCH,

∵AC=DC,

∴△ACF≌△DCH,

∴AF=DH,

∵EC=BC,

CE·AF=BC·DH,S1=S2;

(4)S1=S2仍然成立,理由如下:

如下圖3所示:過(guò)DDHBCH,過(guò)AAGECEC的延長(zhǎng)線于G.

DHBC,AGEC,

∴∠AGC=DHC=90°

∵△ABC旋轉(zhuǎn)后與DCE全等

∴∠ACB=DCE=90°,AC=DC,BC=CE.

∵∠ACE+BCD=180°,GCA+ECA=180°,

∴∠ACG=DCH

又∵∠AGC=∠DHC,AC=DC,

∴△AGC≌△DHC,

AG=DH,

ECAF=CBDG,即S1=S2

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①當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 相遇?

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