Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB=∠ACB．

（1）求證：=；

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，求證：四邊形ABFD是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，

又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；

（2）設(shè)AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，

由（1）得：AB²=AE•AC，∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，

∵F是BC中點(diǎn)，∴BF=x，∴BF=AB=AD，

又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，∴∠ADB=∠CBD=30°，∴AD∥BF，

∴四邊形ABFD是平行四邊形，又∵AD=AB，∴四邊形ABFD是菱形．