Question

平面直角坐標系內有兩條直線l₁、l₂，直線l₁的解析式為y=-

2

3

x+1，如果將坐標紙折疊，使直線l₁與l₂重合，此時點（-2，0）與點（0，2）也重合．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設直線l₁與l₂相交于點M，問：是否存在這樣的直線l：y=x+t，使得如果將坐標紙沿直線l折疊，點M恰好落在x軸上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由；
（3）設直線l₂與x軸、y軸分別交于點A、B，點P（a，0）在x軸正半軸上運動，點Q（0，b）在y軸負半軸上運動，且PQ⊥AB，若△APQ是等腰三角形，求a，b．

Answer 1

分析：（1）先求出在直線l₁上的兩個點的坐標，然后折疊再求出相應的兩點坐標，最后求出直線l₂的解析式；
（2）先求出點M的坐標，然后根據題中已知條件看是否存在直線1；
（3）求出A、B的坐標，然后根據△APQ是等腰三角形，且PQ⊥AB來求出a，b．

解答：解：如圖所示：
（1）∵點（-2，0）與點（0，2）重合，可知折疊痕跡為y=-x；
直線l₁經過點（0，1），（1.5，0）．
可知對稱的點為（-1，0），（0，-1.5）．
設直線l₂解析式為：y=kx+b；
將點的坐標代入可得：

0=-k+b -1.5=b

，
解得：

k=-1.5 b=-1.5

；
則直線l₂的解析式為：y=-1.5x-1.5；

（2）直線l₁與l₂相交于點M，
則M的坐標為（-3，3）；
因為直線1的斜率為k=1，
而點M關于斜率為1的直線的對稱點必在直線y=-x上面，
所以點M關于直線l的對稱點為O（0，0），
可知點M和點O關于（-1.5，1.5）對稱，
將點（-1.5，1.5）代入直線l中可得解析式為：y=x+3；
所以存在直線l：y=x+3，使得如果將坐標紙沿直線l折疊，點M恰好落在x軸上；

（3）根據直線l₂解析式可得A（-1，0），B（0，-1.5）；
因為PQ⊥AB可知直線PQ的斜率為k=-

b

a

=

2

3

；
可設b=-2t，則a=3t，t＞0；
①AQ=PQ，則PO=AO，
所以a=1，b=-

2

3

；
②當AP=AQ，3t+1=

1+ 4t2

?t=0或t=-

6

5

，
不合題意，舍去；
③當AP=PQ，3t+1=

13

t，
解得t=

6+2  13

8

或t=

6-2  13

8

（舍去），a=

9+3  13

4

，b=-

3+  13

2

；
所以

a=1 b=- 2 3

或

a=  9+3  13 4 b= - 3+  13 2

．

點評：本題主要考查對于二元一次方程組的應用以及對于對稱圖形的掌握．