Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，1）、B（3，1）．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)．過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式為y_＝－x ²＋x.（2分，設(shè)解析式給1分）

y

（2）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分為△OPQ，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖1．

在Rt△AOD中，AD＝OD＝1，∠AOD＝45°．

在Rt△OPQ中，OP＝t，∠OPQ＝∠QOP＝45°．

∴OQ＝PQ＝t．

∴S_＝S_△OPQ＝OQ^·PQ_＝×t×t_＝t ²（0＜t≤2）

②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)E，重疊部分為梯形AOPE，

作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2．∵∠OPQ＝∠QOP＝45°

 ∴四邊形AOPE是等腰梯形  ∴AE＝DF＝t－2．

∴S_＝S_{梯形AOPE＝} (AE＋OP)^·AD_＝ (t－2＋t)×1

_＝t－1（2＜t≤3）

③當(dāng)3＜t＜4時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，

重疊部分為五邊形AOCFE，如圖3．

∵B（3，1），OP＝t，∴PC＝CF＝t－3．

∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形

∴BE＝BF＝1－₍t－3₎＝4－t

∴S_＝S_{五邊形AOCFE＝}S_梯形OABC －S_△BEF＝ (2＋3)×1－(4－t)²

_＝－t ²＋4t_－（3＜t＜4） ……（5分，每種情況給1分）

（3）只要＝或者＝即可，3－t＝×t  或3－t＝×t

解得t＝2或t＝    ………………………（8分，求出一解給2分，兩解給3分）

（4）存在． t₁＝1，t₂＝2．   …………………（10分，每個(gè)值給1分）