Question

【題目】小明在學(xué)了三角形的角平分線后，遇到下列4個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫他解決．如圖，在△ABC中，∠BAC= 50°，點(diǎn)I是∠ABC、∠ACB平分線的交點(diǎn)．

問(wèn)題(1)：填空：∠BIC＝_________°．

問(wèn)題(2)：若點(diǎn)D是兩條外角平分線的交點(diǎn)，則∠BDC＝_________°．

問(wèn)題(3)：若點(diǎn)E是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACG的平分線的交點(diǎn)，則∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系是________；

問(wèn)題(4)：在問(wèn)題（3）的條件下，當(dāng)∠ACB等于__________°時(shí)，CE∥AB．

Answer 1

【答案】 115 65 ∠BEC∠BAC，或∠BAC=2∠BEC 80

【解析】分析：(1)、根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出答案；(2)、根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出各角之間的關(guān)系，從而得出答案；(3)、根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出答案；(4)、根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACE=∠A=50°，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ACG=2∠ACE=100°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．

詳解：（1）∵點(diǎn)I是兩角B、C平分線的交點(diǎn)，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）
=90+∠BAC=115°；
（2）∵BE、BD分別為∠ABC的內(nèi)角、外角平分線， ∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四邊形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-∠BAC=65°；
（3）∠BEC=∠BAC．
證明：在△BDE中，∠DBI=90°，∴∠BEC=90°-∠BDC=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC；
（4）當(dāng)∠ACB等于80°時(shí)，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A=50°，∵CE是∠ACG的平分線，∴∠ACG=2∠ACE=100°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°．