Question

如圖，在平角直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象分別交于一、三象限的A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，線段OC=2，A點坐標為（n，3），且cos∠ACO=

4

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）過點A作AE⊥x軸于點E，由cos∠AOE=

4

5

，OC=2，再根據(jù)勾股定理得到CE，即得到A點坐標（2，3），把A（2，3）代入y=

a

x

，確定反比例函數(shù)的解析式；然后把A點和C點坐標代入y=kx+b（k≠0）即可得出兩函數(shù)解析式．
（2）先聯(lián)立兩函數(shù)解析式得出B點坐標，然后根據(jù)三角形的面積公式計算△AOB的面積即可．

解答：解：（1）過點A作AE⊥x軸于點E，
∵A點坐標為（n，3），且cos∠ACO=

4

5

，
∴AE=3，設(shè)CE=4x，則AC=5x，
在Rt△ACE中，AE²+EC²=AC²，
則3²+（4x）²=（5x）²，
解得：x=1，
故EC=4，AC=5，
∵CO=2，∴EO=2，
故A點坐標為（2，3），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y=

a

x

，將A（2，3）點代入得出：xy=a，即2×3=6=a，
故反比例函數(shù)解析式為：y=

6

x

；
設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b，將A（2，3），C（-2，0）點坐標代入得：

2k+b=3 -2k+b=0

，
解得：

k= 3 4 b= 3 2

，
故一次函數(shù)的解析式為：y=

3

4

x+

3

2

，

（2）過點B作BF⊥x軸于點F，
將反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式兩函數(shù)聯(lián)立得出：

y= 6 x y= 3 4 x+ 3 2

，
解得：

x1=2 y1=3

，

x2=-4 y2=- 3 2

，
故B點坐標為：（-4，-

3

2

），
故BF=

3

2

，
∵AE=3，CO=2，
∴△AOB的面積=S_△ACO+S_△BCO
=

1

2

×AE×CO+

1

2

×CO×BF
=

1

2

×2×3+

1

2

×2×

3

2

=

9

2

．

點評：本題考查了余弦的定義、勾股定理以及三角形面積公式和點的坐標的求法和點在圖象上，點的橫縱坐標滿足圖象的解析式，得出A點坐標是解題關(guān)鍵．