Question

若自然數(shù)x＜y＜z，a為整數(shù)，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=a，試求x，y，z．

Answer 1

分析：可先設(shè)x≥1，y≥2，z≥3，根據(jù)

1

x

+

1

y

+

1

z

=a，a為整數(shù)，當(dāng)x=1時進行分析看是否符合；然后令x≥3時，進行分析，看看是否符合題意；最后令x=2，進行分析，看看是否符合題意，從而得到結(jié)果．

解答：解：分析由題設(shè)可知x≥1，y≥2，z≥3，所以
0≤a=

1

1

+

1

2

+

1

3

=1

5

6

又因a是整數(shù)，故a=1．若x=1，則1+

1

y

+

1

z

=1，

1

y

+

1

z

=0，與題意不符，所以x≠1．
又x≥3時，a=

1

x

+

1

y

+

1

z

≤

1

3

+

1

4

+

1

5

=

47

60

＜1，也不成立，故x只能為2．
當(dāng)x=2，

1

y

+

1

z

=1-

1

2

=

1

2

．
令y=3，則z=6．
當(dāng)x=2，y≥4時，

1

y

+

1

z

=1-

1

2

=

1

2

當(dāng)x=2，y=4時，

1

y

+

1

z

=

1

4

+

1

5

=

9

20

＜

1

2

，不成立．
故本題只有一組解，即x=2，y=3，z=6．
答：x=2，y=3，z=6．

點評：解決本題的關(guān)鍵是將等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后進行分類討論．