【題目】如圖,拋物線y=ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點P在第一象限的拋物線上,且點P的橫坐標為t,過點P向x軸作垂線交直線BC于點Q,設線段PQ的長為m,求m與t之間的函數(shù)關系式,并求出m的最大值;

(3)在x軸上是否存在點E,使以點B,C,E為頂點的三角形為等腰三角形?如果存在,直接寫出E點坐標;如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)m=﹣t2+4t(0<t<4),m的最大值為4;(3)存在,E(﹣4,0)或(0,0)或(4﹣4,0).

【解析】

(1)由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

(2)將x=0代入拋物線解析式中可求出點C的坐標,根據(jù)點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,由點P的橫坐標為t,即可找出點P、Q的坐標,由此即可用含t的代數(shù)式表示出PQ的長度,再利用二次函數(shù)的性質即可解決最值問題;

(3)①由COx軸、QDx軸、∠QBD=CBO,即可得出BQD∽△BCO,即存在點E(0,0)使得BQD∽△BCE;②過點CECBCx軸于點E,由ECBC、QDx軸、∠QBD=CBO,即可得出BQD∽△BEC,再根據(jù)點B、C的坐標即可得出∠CBO=45°,利用等腰直角三角形的性質即可得出此時點E的坐標.綜上即可得出結論.

(1)∵拋物線y=ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0),

A、B兩點坐標代入上式,解得:a=﹣1,c=4,

故:拋物線y=﹣x2+3x+4;

(2)∵將x=0代入拋物線的解析式得:y=4,C(0,4),

把將B(4,0),C(0,4)代入拋物線方程,

解得:直線BC的解析式為:y=﹣x+4.

過點Px的垂線PQ,如圖所示:

∵點P的橫坐標為t,P(t,﹣t2+3t+4),Q(t,﹣t+4).

PQ=﹣t2+3t+4﹣(﹣t+4)=﹣t2+4t.

m=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4(0<t<4).

∴當t=2時,m的最大值為4;

(3)存在.如圖所示:

EC=BE時,E在原點O,此時點E(0,0),

BC=CE時,E在點B關于y軸對稱點,此時點E(﹣4,0),

BC=BE時,BE=4,此時E(4﹣4,0)

即:E(﹣4.0)或(0,0)或(4﹣4,0).

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