【題目】已知四邊形中,,點是射線上一點,點是射線上一點,且滿足.

1)如圖,當點在線段上時,若,在線段上截取,聯(lián)結(jié).求證:;

2)如圖,當點在線段的延長線上時,若,,,設(shè),,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;

3)記交于點,在(2)的條件下,若相似,求線段的長.

【答案】1)證明見詳解;(2 ;(3 .

【解析】

(1)證明EGBFDE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明.

(2) HBC上一點,使四邊形ABHD為等腰梯形,連接DH,作BIAD于點I,作HJAD于點J,DKBC于點K,根據(jù)∠A=ADH=DHC,∠ABC=BHD=HDC+CABC=2C,得到∠HDC=C,由,得到HD=HC=AB=3,AI=DJ=HK=1,

,求出 作∠ENF=A,證明DFN∽△DHC,又NEF∽△ABE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

DE=x-4,代入,即可求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;

(3) 根據(jù)EMF∽△EMF,得到∠AEB=EFM=EFN,則∠AEB=EDC=C,

AE上截取PE=BP,∠AEB=PBE=APB,證明APB∽△HDC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ABP的三邊比為,即可求出BP=PE=,即可求出線段的長.

(1)證明:∵ADBC

∴∠A+ABC=180°,ADC+C=180°,

又∵∠A+1+2=180°,

又∵∠1=2

∴∠ABC=21.

且∠ABC=2C,∴∠C=1

∵∠BGE+1=180°

∴∠ADC=BGE,

∵∠A+ABE+AEB=180°,∠AEB+BEF+DEF=180°,

且∠A=BEF

∴∠ABE=DEF

AB=AD,AG=AE

BG=DE

∴△EGBFDE

GE=DF.

(2)HBC上一點,使四邊形ABHD為等腰梯形,連接DH,作BIAD于點I,作HJAD于點J,DKBC于點K,

易得∠A=ADH=DHC,∠ABC=BHD=HDC+C

又∵∠ABC=2C,

∴∠HDC=C

,

HD=HC=AB=3,AI=DJ=HK=1,

作∠ENF=A,

∴∠DHC=A=ENF

∵∠NDF=C,

∴△DFN∽△DHC,

又∵△NEF∽△ABE

DE=x-4

,

(3)∵△EMFABE相似,

此時只有EMF∽△EMF

∴∠AEB=EFM=EFN

∴∠AEB= EDC= C

ABE,AE上截取PE=BP,

∴∠AEB=PBE=APB

∴∠APB=C

∴△APB∽△HDC,

∴△ABP的三邊比為,

BP=PE=

AE=AP+PE=.

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銷售單價(元)

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