Question

已知拋物線y=a（x-1）²+m的頂點為P，與x軸的兩個交點分別為A、B，且△PAB為直角三角形．
（1）設拋物線的對稱軸與x軸交于E點，那么PE與AB有何數量關系？請說明其理由；
（2）若將拋物線向上平移2單位時，拋物線的頂點恰好在x軸上，不解方程求關于x的一元二次方程a（x-1）²+m=0的根；
（3）試寫出a與m之間的函數關系式，并指明m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據二次函數的對稱性可得AP=BP，從而判斷出△PAB是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質解答即可；
（2）根據平移確定出PE=2，再根據等腰直角三角形的性質求出AE=BE=2，然后寫出平移前點A、B的坐標，最后根據拋物線與x軸的交點問題解答；
（3）先用m表示出PE，再根據等腰直角三角形的性質表示出點A、B的坐標，然后把點A的坐標代入拋物線解析式計算即可得解．

解答：解：（1）PE=

1

2

AB．
理由如下：∵拋物線y=a（x-1）²+m的頂點為P，與x軸的兩個交點分別為A、B，且△PAB為直角三角形，
∴△PAB是等腰直角三角形，∠APB=90°，
∴PE是等腰直角三角形斜邊上的中線，
∴PE=

1

2

AB；

（2）∵若將拋物線向上平移2單位時，拋物線的頂點恰好在x軸上，
∴PE=2，
∵PE=

1

2

AB，
∴AB=4，AE=BE=2，
∵拋物線對稱軸為直線x=1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴關于x的一元二次方程a（x-1）²+m=0的根為x₁=-1，x₂=3．

（3）∵PE=|m|，
∴AB=2|m|，
∴點A（1-|m|，0），B（1+|m|，0），
將點A坐標代入拋物線得y=a（1-|m|-1）²+m=0，
解得m=0或am=-1，
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴m≠0，
∴am=-1（m≠0）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了等腰直角三角形的性質，拋物線與x軸的交點問題，二次函數圖象上點的坐標特征，難點在于（3）表示出點A、B的坐標．