Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）以斜邊BC上距離C點2cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，并且DF交AC于點N，EF交AC于點M，則△NMF與△ABC的形狀關(guān)系為______；
（2）在（1）的條件下，求旋轉(zhuǎn)后△DEF與△ABC重疊部分的面積S；
（3）以斜邊BC上距離C點xcm的點P為中心（P不是B、C），把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）相似；

（2）∵繞點P旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，EF⊥BC于P，從而得Rt△CPM，且Rt△CPM∽Rt△CAB，△CPM≌△FPQ．
由勾股定理可求得BC=5cm．
∵CP=2cm，且FP=CP=2cm（旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段相等）．
由△CPM∽△CAB，得PM：AB=PC：AC，即PM：3=2：4，
得PM=；FM=FP-PM=2-=，
由△FPQ∽△FDE得PQ：DE=FP：FD，∴PQ=，
∴S_△FQP=FP•PQ=•2•=．
由△FNM∽△CAB，
得FN：CA=FM：CB，∴FN=；同樣，NM：AB=FM：CB，得NM=，
從而得S_△FMN=FN•NM=•=，

∴重疊部分的面積S=S_△FQP-S_△FNM
=S_△CMP-S_△FNM=-=；

（3）點P從C點逐漸向B移動時，有三種情況，它是由BC上的三段組成的P點的三個取值范圍，
見圖所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上這三段．其中的P₁、P₂是兩個特殊的位置：P₁的位置是FD與AB有部分重合；P₂的位置是FE過A點．下面先求出CP₁的長．
對于圖2中的P₁位置，即是下圖1中，當(dāng)AN=0時的情況．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，
MN=x，∴NC=NM+MC=x+x=x，
從而AN=AC-NC=4-x，
由AN=0，解得x=；對于圖2中點P₂的位置，容易求得P₂C=．
1當(dāng)P在CP₁間，即0＜x≤時，
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM
=PC•MP-FN•NM
=x•x-x•x=x²，
②當(dāng)P在P₁P₂間，即＜x≤時，y=S_△ABC-S_△CPM=6-•x•x=6-x²；
③當(dāng)P在P₂B間，即＜x＜5時，y=S_△MPB=•（5-x）•（5-x）=（3-x）²．
故：當(dāng)0＜x≤時，y=x²；
當(dāng)＜x≤時，y=6-x²；
當(dāng)＜x＜5時，y=（3-x）²．

分析：（1）相似，由于按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，容易得到△ABC∽△PMC∽△NMF，由此即可求解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和EF⊥BC于P得到Rt△CPM∽Rt△CAB，△CPM≌△FPQ，F(xiàn)P=CP，由勾股定理可求得BC=5cm，而CP=2cm，由△CPM∽△CAB利用對應(yīng)線段成比例求出PM，接著求出FM，再由△FPQ∽△FDE利用相似三角形的性質(zhì)求出PQ，由此即可求出S_△FQP，再由△FNM∽△CAB利用相似三角形的性質(zhì)求出FN和NM，從而得S_△FMN，而重疊部分的面積S=S_△FQP-S_△FNM，由此即可求解；
（3）點P從C點逐漸向B移動時，有三種情況，它是由BC上的三段組成的P點的三個取值范圍，如圖所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上這三段．其中的P₁、P₂是兩個特殊的位置：P₁的位置是FD與AB有部分重合；P₂的位置是FE過A點．首先求出CP₁的長．對于圖2中的P₁位置，即是下圖1中，當(dāng)AN=0時的情況．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，MN=x，所以NC=NM+MC=x，從而AN=AC-NC=4-x，由AN=0求出x=；對于圖2中點P₂的位置，容易求得P₂C=，
①當(dāng)P在CP₁間，即0＜x≤時，由y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM=PC•MP-FN•NM可以求出函數(shù)解析式；
②當(dāng)P在P₁P₂間，即＜x≤時，由y=S_△ABC-S_△CPM可以求出函數(shù)解析式；
③當(dāng)P在P₂B間，即＜x＜5時，由y=S_△MPB=•（5-x）•（5-x）求出函數(shù)解析式．
點評：此題分別考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及解直角三角形等知識，綜合性非常強(qiáng)，要求學(xué)生有很好的基礎(chǔ)知識才能解決這類問題．