Question

【題目】如圖，邊長為 7 的正方形 OABC 放置在平面直角坐標(biāo)系中，動點 P 從點 C 出發(fā)，以 每秒 1 個單位的速度向 O 運動，點 Q 從點 O 同時出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度向點 A 運動，到達(dá)端點即停止運動，運動時間為 t 秒，連 PQ、BP、BQ．

（1）寫出 B 點的坐標(biāo)；

（2）填寫下表：

時間 t（單位：秒）	1	2	3	4	5	6
OP 的長度
OQ 的長度
PQ 的長度
四邊形 OPBQ 的面積

①根據(jù)你所填數(shù)據(jù)，請描述線段 PQ 的長度的變化規(guī)律？并猜測 PQ 長度的最小值．

②根據(jù)你所填數(shù)據(jù)，請問四邊形 OPBQ 的面積是否會發(fā)生變化？并證明你的論斷；

（3）設(shè)點 M、N 分別是 BP、BQ 的中點，寫出點 M，N 的坐標(biāo)，是否存在經(jīng)過 M， N 兩點的反比例函數(shù)？如果存在，求出 t 的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（7，7）；（2）表格填寫見解析；①,PQ長度的最小值是；

②四邊形OPBQ的面積不會發(fā)生變化；（3）t=3.5存在經(jīng)過M，N兩點的反比例函數(shù).

【解析】

通過寫點的坐標(biāo)，填表，搞清楚本題的基本數(shù)量關(guān)系，每個量的變化規(guī)律，然后進行猜想；用運動時間t，表示線段OP，OQ，CP，AQ的長度，運用割補法求四邊形OPBQ的面積，由中位線定理得點M（3.5，7-），N（，3.5），反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點是 ，利用該等式求t值．

解：(1)∵在正方形 OABC中OA=OC=7

∴B（7，7）

(2)表格填寫如下：

①線段PQ的長度的變化規(guī)律是先減小再增大,PQ長度的最小值是 .理由如下：

在Rt△POQ中，OP=7-t，OQ=t

∴PQ2=(7-t)2+t2=2t2-14t+49=

∵

∴

∴當(dāng) 時PQ2最取得最小值為

∴此時

②根據(jù)所填數(shù)據(jù)，四邊形OPBQ的面積不會發(fā)生變化；

∵=24.5，

∴四邊形OPBQ的面積不會發(fā)生變化.

(3)點M(3.5,7 ),N( ,3.5)，

當(dāng)3.5(7)=×3.5時，則t=3.5，

∴當(dāng)t=3.5存在經(jīng)過M，N兩點的反比例函數(shù).