Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，經(jīng)過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點．

（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，

∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x+1；

（2）

解：∵y=（x+1）2，

∴頂點A的坐標為（﹣1，0），

∵點C是線段AB的中點，

即點A與點B關(guān)于C點對稱，

∴B點的橫坐標為1，

當x=1時，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（﹣1，0），B（1，4）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=2x+2

【解析】（1）利用△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點得到4a2﹣4a=0，然后解關(guān)于a的方程求出a，即可得到拋物線解析式；（2）利用點C是線段AB的中點可判斷點A與點B的橫坐標互為相反數(shù)，則可以利用拋物線解析式確定B點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式．本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
【考點精析】利用確定一次函數(shù)的表達式和拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．