Question

如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．
【小題1】試猜想線段BG和AE的數量關系，請直接寫出你得到的結論．
【小題2】將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
【小題3】若BC＝DE＝2，在（2）的旋轉過程中，當AE為最大值時，求AF的值．

Answer 1

見解析解析:
解：（1）BG＝AE．
（2）成立．
如圖②，連接AD．
∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．
∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．
∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．
（3）由（2）知，BG＝AE，故當BG最大時，AE也最大．
因為正方形DEFG在繞點D旋轉的過程中，G點運動的圖形是以點D為圓心，DG為半徑的圓，故當正方形DEFG旋轉到G點位于BC的延長線上（即正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270°）時，BG最大，如圖③．
若BC＝DE＝2，則AD＝1，EF＝2．
在Rt△AEF中，AF²＝AE²＋EF²＝(AD＋DE)²＋EF²＝(1＋2)²＋2²＝13．
∴AF＝．
即在正方形DEFG旋轉過程中，當AE為最大值時，AF＝．